II.1. Intégrales orbitales pondérées
209
unipotent u ∈ M (F ), pour a ∈ A M (F ) en position générale et proche de 1, pour
P ∈ P(M ) et pour λ ∈ iA M , posons
r P (u, a, B; λ) =
α∈Σ(AM ,B);α>P 0
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ
G (α,u,B)/2
F
.
La collection (r P (u, a, B; λ)) P ∈P(M) est une (G, M )-famille dont on déduit un
terme r
G
M (u, a, B) comme en 1.5. Supposons fixé un sous-groupe compact spécial
en bonne position relativement à M . Pour f ∈ C
∞
c (G(F )), la fonction
a →
L∈L(M)
r
L
M (u, a, B)J
G
L (au, f )
a une limite quand a tend vers 1 parmi les éléments de A M (F ) en position générale.
On note J
G
M (u, B, f ) cette limite. L’intégrale invariante I
G
M (u, B, f ) s’en déduit
comme en 1.6. Ces termes vérifient des propriétés analogues aux termes J
G
M (u, f )
et I
G
M (u, f ). Plus canoniquement, on définit I
G
M (γ, B, f ) pour γ ∈ D unip (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , où D unip (M (F )) est le sous-espace
des éléments de D g´ eom (M (F )) à support unipotent.
II.1.9 Variantes des intégrales orbitales pondérées dans le cas
quasi-déployé à torsion intérieure
On suppose dans ce paragraphe (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Rappelons que l’on note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G. On appelle
système de fonctions B la donnée pour tout η ∈ ˜
G ss (F ) d’une fonction B η sur le
système de racines de G η de sorte que les conditions (1) et (2) suivantes soient
vérifiées.
(1) Pour tout η ∈ ˜
G ss (F ), B η vérifie les conditions de 1.8.
Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et x ∈ G tel que xσ(x)
−1
∈ G η pour tout σ ∈ Γ F . Posons
η
= ad x −1 (η). Alors η
∈ ˜
G ss (F ) et ad x est un torseur intérieur de G η sur G η
qui permet d’identifier les systèmes de racines de ces deux groupes, munis de leurs
actions quasi-déployées. On demande
(2) par cette identification, B η s’identifie à B η .
Fixons un tel système de fonctions. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe
des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Pour γ ∈ ˜
M (F ), on va
définir une distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F )). Si γ est ˜
G-équisingulier,
on pose I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ). Passons au cas général. On écrit γ = uη, avec
η ∈ ˜
M ss (F ) et u ∈ M η (F ). On note Σ(A M , B η ) l’ensemble des restrictions non
nulles à a M d’éléments de Σ(A Mη , B η ). Pour α ∈ Σ(A M , B η ), on pose
(3)
ρ(α, γ, B) =
β∈Σ(AM η ,Bη );βA M =α
ρ
Gη (β, u, B η ) M .
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unipotent u ∈ M (F ), pour a ∈ A M (F ) en position générale et proche de 1, pour
P ∈ P(M ) et pour λ ∈ iA M , posons
r P (u, a, B; λ) =
α∈Σ(AM ,B);α>P 0
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ
G (α,u,B)/2
F
.
La collection (r P (u, a, B; λ)) P ∈P(M) est une (G, M )-famille dont on déduit un
terme r
G
M (u, a, B) comme en 1.5. Supposons fixé un sous-groupe compact spécial
en bonne position relativement à M . Pour f ∈ C
∞
c (G(F )), la fonction
a →
L∈L(M)
r
L
M (u, a, B)J
G
L (au, f )
a une limite quand a tend vers 1 parmi les éléments de A M (F ) en position générale.
On note J
G
M (u, B, f ) cette limite. L’intégrale invariante I
G
M (u, B, f ) s’en déduit
comme en 1.6. Ces termes vérifient des propriétés analogues aux termes J
G
M (u, f )
et I
G
M (u, f ). Plus canoniquement, on définit I
G
M (γ, B, f ) pour γ ∈ D unip (M (F )) ⊗
Mes(M (F ))
∗ et f ∈ I(G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
∗ , où D unip (M (F )) est le sous-espace
des éléments de D g´ eom (M (F )) à support unipotent.
II.1.9 Variantes des intégrales orbitales pondérées dans le cas
quasi-déployé à torsion intérieure
On suppose dans ce paragraphe (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure.
Rappelons que l’on note ˜
G ss l’ensemble des éléments semi-simples de ˜
G. On appelle
système de fonctions B la donnée pour tout η ∈ ˜
G ss (F ) d’une fonction B η sur le
système de racines de G η de sorte que les conditions (1) et (2) suivantes soient
vérifiées.
(1) Pour tout η ∈ ˜
G ss (F ), B η vérifie les conditions de 1.8.
Soient η ∈ ˜
G ss (F ) et x ∈ G tel que xσ(x)
−1
∈ G η pour tout σ ∈ Γ F . Posons
η
= ad x −1 (η). Alors η
∈ ˜
G ss (F ) et ad x est un torseur intérieur de G η sur G η
qui permet d’identifier les systèmes de racines de ces deux groupes, munis de leurs
actions quasi-déployées. On demande
(2) par cette identification, B η s’identifie à B η .
Fixons un tel système de fonctions. Soit ˜
M un espace de Levi de ˜
G. On fixe
des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Pour γ ∈ ˜
M (F ), on va
définir une distribution f → I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F )). Si γ est ˜
G-équisingulier,
on pose I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ). Passons au cas général. On écrit γ = uη, avec
η ∈ ˜
M ss (F ) et u ∈ M η (F ). On note Σ(A M , B η ) l’ensemble des restrictions non
nulles à a M d’éléments de Σ(A Mη , B η ). Pour α ∈ Σ(A M , B η ), on pose
(3)
ρ(α, γ, B) =
β∈Σ(AM η ,Bη );βA M =α
ρ
Gη (β, u, B η ) M .