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Chapitre II. Enoncés des résultats
On définit comme à la fin de 1.8 une fonction a → α(a) sur un voisinage
assez petit de 1 dans A ˜
M (F ). Pour a en position générale et assez proche de 1, on
définit ensuite une ( ˜
G, ˜
M )-famille (r ˜
P (γ, a, B; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M ) par
r ˜
P (γ, a, B; λ) =
α∈Σ(A ˜
M ,Bη);α>P 0
|α(a) − α(a)
−1
|
λ,ρ(α,γ,B)/2
F
.
On en déduit comme toujours un nombre r
˜
G
˜
M
(γ, a, B). On a
(4) la fonction
a →
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B)I
˜
G
˜
L
(aγ, B, f)
a une limite quand a tend vers 1 parmi les éléments de A ˜
M (F ) en position
générale.
Preuve. On introduit la ( ˜
G, ˜
M )-famille (c ˜
P (γ, a, B; λ)) ˜
P ∈P( ˜
M ) telle que
r ˜
P (γ, a, B; λ) = c ˜
P (γ, a, B; λ)r ˜
P (γ, a; λ).
Pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ), on a l’égalité
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B) =
˜
R∈L
˜
L ( ˜
M)
c
˜
R
˜
M
(γ, a, B)r
˜
L
˜
R
(γ, a).
La fonction que l’on considère est donc
a →
˜
R∈L( ˜
M)
c
˜
R
˜
M
(γ, a, B)
˜
L∈L( ˜
R)
r
˜
L
˜
R
(γ, a)I
˜
G
˜
L
(aγ, f ).
La relation 1.7(12) montre que, pour tout ˜
R, la somme intérieure a une limite
quand a tend vers 1. Il suffit de prouver que c
˜
R
˜
M
(γ, a, B) a aussi une limite et il
suffit encore de prouver que, pour tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), c ˜
P (γ, a, B; λ) a une limite.
D’après les définitions, on a
r ˜
P (γ, a; λ) =
β ∈Σ
Gη (AM η );β
A M
>P 0
|β
(a) − β
(a)
−1
|
λ,ρ
Gη (β
,u)/2
F
et
r ˜
P (γ, a, B; λ) =
β∈Σ
Gη (AM η ,Bη);βA M >P 0
|β(a) − β(a)
−1
|
λ,ρ
Gη (β,u,Bη)y/2
F
.
On peut récrire ces formules
r ˜
P (γ, a; λ) =
β ∈Σ
Gη
ind (AM η );β
A M
>P 0
n≥1
|β
(a)
n
− β
(a)
−n
|
λ,ρ
Gη (nβ
,u)/2
F