II.1. Intégrales orbitales pondérées
211
et
r ˜
P (γ, a, B; λ) =
β∈Σ
Gη
ind (AM η ,Bη);βA M >P 0
n≥1
|β(a)
n
− β(a)
−n
|
λ,ρ
Gη (nβ,u,Bη)/2
F
.
Ces fonctions ont les mêmes singularités en a = 1 que les fonctions
β ∈Σ
Gη
ind (AM η );β
A M
>P 0
|β
(a) − β
(a)
−1
|
λ,
n≥1 ρ
Gη (nβ
,u)/2
F
et
β∈Σ
Gη
ind (AM η ,Bη);βA M >P 0
|β(a) − β(a)
−1
|
λ,
n≥1 ρ
Gη (nβ,u,Bη)/2
F
.
Il y a une bijection entre les ensembles d’éléments indivisibles Σ
Gη
ind (A Mη )
et Σ
Gη
ind (A Mη , B η ) : à un élément β
∈ Σ
Gη
ind (A Mη ), on associe l’unique élément
indivisible β de Σ
Gη (A Mη , B η ) qui soit de la forme qβ
avec q ∈ Q, q > 0. Cette
bijection préserve la positivité pour P . Si β correspond à β
par la bijection cidessus, les fonctions |β
(a) − β
(a)
−1
| F et |β(a) − β(a)
−1
| F ont même singularité.
De plus, d’après 1.8(8), on a l’égalité
k≥1
ρ(kβ
, u) =
k≥1
ρ(kβ, u, B η ).
On conclut que le rapport c ˜
P (γ, a, B, λ) est régulier en a = 1.
On définit I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) comme la limite de la fonction (4).
En reprenant la preuve ci-dessus et en utilisant le lemme 1.7, on obtient
l’égalité
(5)
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) =
˜
R∈L( ˜
M)
c
˜
R
˜
M
(γ, 1, B)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , f),
où γ
˜
R est la distribution induite par l’intégrale orbitale dans ˜
M associée à γ.
En utilisant davantage 1.7(12), on obtient aussi
(6) il existe r > 0 tel que, pour tout γ ∈ ˜
M (F ) et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )), il existe
C > 0 de sorte que
|I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) −
˜
L∈L( ˜
M)
r
˜
L
˜
M
(γ, a, B)I
˜
G
˜
L
(aγ, B, f)| ≤ Cd(a)
r
pour tout a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et assez proche de 1.