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Chapitre II. Enoncés des résultats
Comme en 1.4, on se débarrasse des mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) pour
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ))⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗ Mes(G(F )), ou f ∈ I( ˜
G(F ))⊗
Mes(G(F )).
Les distributions I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) ont les mêmes propriétés (1), (2), (3) et (4) de
1.7. Elles vérifient également le lemme 1.7 et le raffinement 1.7(12). La preuve est
la même, en remplaçant l’utilisation de 1.4(4) par celle de 1.8(9).
Remarque. Si B η est la fonction constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
M ss (F ), on
a évidemment I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
En fait, ces deux distributions sont souvent égales, grâce au lemme suivant.
On rappelle que l’on note p la caractéristique résiduelle de F .
Lemme. Supposons p différent de 2, 3 et 5 et supposons que, pour tout η ∈ ˜
M ss (F ),
les valeurs de la fonction B η soient premières à p. Alors on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Il suffit de prouver que, pour tout γ = uη ∈ ˜
M (F ), tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), tout
a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour tout λ ∈ iA ˜
M , on a l’égalité
r ˜
P (γ, a, B; λ) = r ˜
P (γ, a; λ)
pourvu que a soit assez proche de 1. On reprend la preuve de (4) ci-dessus. On y
a utilisé les trois propriétés suivantes :
(7) pour β
∈ Σ
Gη (A Mη ) et n ≥ 1 tel que nβ
∈ Σ
Gη (A Mη ), la fonction
|β
(a)
n −β
(a)
−n |F
|β (a)−β (a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1 ;
(8) pour β ∈ Σ
Gη (A Mη , B η ) et n ≥ 1 tel que nβ ∈ Σ
Gη (A Mη , B η ), la fonction
|β(a)
n −β(a)
−n |F
|β(a)−β(a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1 ;
(9) pour β
∈ Σ
Gη
ind (A Mη ) et β = qβ
∈ Σ
Gη
ind (A Mη , B η ) se correspondant, le
fonction
|β
(a)−β
(a)
−1 |F
|β(a)−β(a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1.
Pour démontrer l’égalité cherchée, il suffit de prouver que les valeurs en 1 de
ces fonctions sont égales à 1. Il suffit pour cela que les entiers n et les rationnels
q intervenant soient premiers à p. En considérant tous les systèmes de racines
possibles, on vérifie qu’un entier n intervenant dans (7) est forcément inférieur
ou égal à 6. Il est donc premier à p d’après l’hypothèse. Considérons un entier n
intervenant dans (8). Introduisons un sous-tore maximal T
∗ de M η comme en 1.8.
D’après les définitions, il y a deux éléments α 1 et α 2 de Σ
Gη (T
∗ ) de sorte que β,
resp. nβ, soit la restriction à A Mη de B η (α 1 )
−1 α 1 , resp. B η (α 2 )
−1 α 2 . Les éléments
Chapitre II. Enoncés des résultats
Comme en 1.4, on se débarrasse des mesures en définissant I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) pour
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F ))⊗ Mes(M (F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗ Mes(G(F )), ou f ∈ I( ˜
G(F ))⊗
Mes(G(F )).
Les distributions I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) ont les mêmes propriétés (1), (2), (3) et (4) de
1.7. Elles vérifient également le lemme 1.7 et le raffinement 1.7(12). La preuve est
la même, en remplaçant l’utilisation de 1.4(4) par celle de 1.8(9).
Remarque. Si B η est la fonction constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
M ss (F ), on
a évidemment I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f ).
En fait, ces deux distributions sont souvent égales, grâce au lemme suivant.
On rappelle que l’on note p la caractéristique résiduelle de F .
Lemme. Supposons p différent de 2, 3 et 5 et supposons que, pour tout η ∈ ˜
M ss (F ),
les valeurs de la fonction B η soient premières à p. Alors on a l’égalité
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, f )
pour tout γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ et tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. Il suffit de prouver que, pour tout γ = uη ∈ ˜
M (F ), tout ˜
P ∈ P( ˜
M ), tout
a ∈ A ˜
M (F ) en position générale et pour tout λ ∈ iA ˜
M , on a l’égalité
r ˜
P (γ, a, B; λ) = r ˜
P (γ, a; λ)
pourvu que a soit assez proche de 1. On reprend la preuve de (4) ci-dessus. On y
a utilisé les trois propriétés suivantes :
(7) pour β
∈ Σ
Gη (A Mη ) et n ≥ 1 tel que nβ
∈ Σ
Gη (A Mη ), la fonction
|β
(a)
n −β
(a)
−n |F
|β (a)−β (a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1 ;
(8) pour β ∈ Σ
Gη (A Mη , B η ) et n ≥ 1 tel que nβ ∈ Σ
Gη (A Mη , B η ), la fonction
|β(a)
n −β(a)
−n |F
|β(a)−β(a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1 ;
(9) pour β
∈ Σ
Gη
ind (A Mη ) et β = qβ
∈ Σ
Gη
ind (A Mη , B η ) se correspondant, le
fonction
|β
(a)−β
(a)
−1 |F
|β(a)−β(a) −1 |F est régulière et non nulle en a = 1.
Pour démontrer l’égalité cherchée, il suffit de prouver que les valeurs en 1 de
ces fonctions sont égales à 1. Il suffit pour cela que les entiers n et les rationnels
q intervenant soient premiers à p. En considérant tous les systèmes de racines
possibles, on vérifie qu’un entier n intervenant dans (7) est forcément inférieur
ou égal à 6. Il est donc premier à p d’après l’hypothèse. Considérons un entier n
intervenant dans (8). Introduisons un sous-tore maximal T
∗ de M η comme en 1.8.
D’après les définitions, il y a deux éléments α 1 et α 2 de Σ
Gη (T
∗ ) de sorte que β,
resp. nβ, soit la restriction à A Mη de B η (α 1 )
−1 α 1 , resp. B η (α 2 )
−1 α 2 . Les éléments