II.1. Intégrales orbitales pondérées
213
α 1 et α 2 se restreignent à A Mη en des multiples n 1 β
et n 2 β
d’un même élément
indivisible de Σ
Gη (A Mη ). On obtient
nn 1 B η (α 1 )
−1 = n 2 B η (α 2 )
−1 .
Comme on vient de le dire, les entiers n 1 et n 2 sont premiers à p. Par hypothèse,
les valeurs B η (α 1 ) et B η (α 2 ) aussi. Donc n est premier à p. Une preuve analogue
montre qu’un rationnel q intervenant dans (9) est premier à p.
II.1.10 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On suppose ici que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe
toujours un espace de Levi ˜
M de ˜
G et on fixe un système de fonctions B comme
en 1.9 . On a défini l’espace D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) des distributions géométriques stables
sur ˜
M (F ). Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F ))
∗ , on va définir une forme linéaire
f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗Mes(G(F )). Conformément à ce que l’on a dit en
1.1, la définition se fait par récurrence sur dim(G SC ). Pour poser cette définition,
il est nécessaire de connaître par récurrence certaines propriétés de cette forme
linéaire.
La propriété difficile est
(1) la forme linéaire f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise en une
forme linéaire sur SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Les autres propriétés sont formelles et faciles. Pour b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ), on a
(2) S
˜
G
˜
M
(δ, B, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) pourvu que b vaille 1 sur l’image par ˜
H ˜
G
du support de δ.
Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant.
Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ
un caractère de C (F ). On définit les espaces C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) et D g´ eom,λ ( ˜
G (F )). Il
y a un homomorphisme naturel
(3)
D g´ eom ( ˜
G (F )) → D g´ eom,λ ( ˜
G (F ))
˙
γ
→
γ
que l’on peut définir par la formule suivante. Pour ˙
γ ∈ D g´ eom ( ˜
G (F )) et f ∈
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), on pose I ˜
G
(γ, f) = I ˜
G
( ˙
γ, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)) où b est n’importe quel
élément de C
∞
c ( ˜
A ˜
G ,F ) valant 1 sur la projection du support de ˙
γ. Remarquons
que f (b◦ ˜
H ˜
G ) est à support compact dans ˜
G (F ). La définition ci-dessus ne dépend
213
α 1 et α 2 se restreignent à A Mη en des multiples n 1 β
et n 2 β
d’un même élément
indivisible de Σ
Gη (A Mη ). On obtient
nn 1 B η (α 1 )
−1 = n 2 B η (α 2 )
−1 .
Comme on vient de le dire, les entiers n 1 et n 2 sont premiers à p. Par hypothèse,
les valeurs B η (α 1 ) et B η (α 2 ) aussi. Donc n est premier à p. Une preuve analogue
montre qu’un rationnel q intervenant dans (9) est premier à p.
II.1.10 Intégrales orbitales pondérées invariantes stables
On suppose ici que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. On fixe
toujours un espace de Levi ˜
M de ˜
G et on fixe un système de fonctions B comme
en 1.9 . On a défini l’espace D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) des distributions géométriques stables
sur ˜
M (F ). Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F ))⊗Mes(M (F ))
∗ , on va définir une forme linéaire
f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) sur C
∞
c ( ˜
G(F ))⊗Mes(G(F )). Conformément à ce que l’on a dit en
1.1, la définition se fait par récurrence sur dim(G SC ). Pour poser cette définition,
il est nécessaire de connaître par récurrence certaines propriétés de cette forme
linéaire.
La propriété difficile est
(1) la forme linéaire f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) est stable, c’est-à-dire se factorise en une
forme linéaire sur SI( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Les autres propriétés sont formelles et faciles. Pour b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G,F ), on a
(2) S
˜
G
˜
M
(δ, B, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) pourvu que b vaille 1 sur l’image par ˜
H ˜
G
du support de δ.
Pour simplifier, fixons des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant.
Considérons des extensions compatibles
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
où C est un tore central induit et où ˜
G est encore à torsion intérieure. Soit λ
un caractère de C (F ). On définit les espaces C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) et D g´ eom,λ ( ˜
G (F )). Il
y a un homomorphisme naturel
(3)
D g´ eom ( ˜
G (F )) → D g´ eom,λ ( ˜
G (F ))
˙
γ
→
γ
que l’on peut définir par la formule suivante. Pour ˙
γ ∈ D g´ eom ( ˜
G (F )) et f ∈
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), on pose I ˜
G
(γ, f) = I ˜
G
( ˙
γ, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)) où b est n’importe quel
élément de C
∞
c ( ˜
A ˜
G ,F ) valant 1 sur la projection du support de ˙
γ. Remarquons
que f (b◦ ˜
H ˜
G ) est à support compact dans ˜
G (F ). La définition ci-dessus ne dépend