214
Chapitre II. Enoncés des résultats
pas du choix de b. Il est utile de donner une autre définition. L’intégration définit
un homomorphisme
(4)
C
∞
c ( ˜
G (F )) → C
∞
c,λ
( ˜
G (F ))
˙
f
→
f
Précisément, f (γ
) =
C (F )
˙
f
c (γ
)λ (c)dc pour tout γ
∈ ˜
G (F ), où ˙
f
c (γ
) =
˙
f (cγ
). On remarque que l’ensemble des c pour lesquels ˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
) n’est pas nulle
est compact. Il en résulte que
I ˜
G
( ˙
γ, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)) = I ˜
G
( ˙
γ,
C (F )
˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
)λ (c)dc)
=
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
))λ (c)dc
=
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c )λ (c)dc.
Autrement dit,
I ˜
G
(γ, f) =
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c )λ (c)dc.
L’homomorphisme (3) est surjectif (les intégrales orbitales qui engendrent l’espace
d’arrivée sont clairement dans l’image). Le groupe C (F ) agit sur C
∞
c ( ˜
G (F ))
par (c, ˙
f ) → ˙
f
c . On en déduit une action duale sur D g´ eom ( ˜
G (F )) de sorte que
I ˜
G
( ˙
γ
c , ˙
f
c ) = I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f ). On vérifie en utilisant la deuxième forme de la définition
que le noyau de l’homomorphisme (3) est engendré par les ˙
γ
c
− λ (c) ˙
γ pour ˙
γ ∈
D g´ eom ( ˜
G (F )) et c ∈ C (F ). Il est peut-être moins clair que
(5) D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (F )) est l’image de D
st
g´ eom ( ˜
G (F )) par l’homomorphisme (3).
Preuve. Soient ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) dont toutes les intégrales
orbitales régulières stables sont nulles. On a I ˜
G
(δ, f) = I ˜
G
( ˙
δ, f(b ◦ ˜
H ˜
G )) où b est
comme ci-dessus. Il est clair que toutes les intégrales orbitales régulières stables
de f (b ◦ ˜
H ˜
G ) sont elles-aussi nulles. Donc I ˜
G
( ˙
δ, f(b ◦ ˜
H ˜
G )) = 0, donc I ˜
G
(δ, f) =
0 donc δ est stable. Inversement, soit ˙
δ ∈ D g´ eom ( ˜
G (F )) tel que δ soit stable.
Introduisons le groupe dérivé G ,der . Le groupe C (F ) agit sur G ,der (F )\ ˜
G (F ).
En ajoutant à ˙
δ un élément du noyau de l’homomorphisme (3), on peut supposer
que l’image du support de ˙
δ dans G ,der (F )\ ˜
G (F ) est de la forme {x 1 , . . . , x n }
où, pour i = j, x i et x j ne sont pas dans la même orbite pour l’action de C (F ).
L’intersection Δ = C (F ) ∩ G ,der (F ) est finie. Quitte à moyenner sur ce groupe,
ce qui ne change pas δ, on peut supposer ˙
δ
c = λ (c) ˙
δ pour c ∈ Δ. On va montrer
qu’alors, ˙
δ est stable. Soit ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) dont toutes les intégrales orbitales
régulières stables sont nulles. Introduisons sa moyenne ˙
f 0 sur le groupe Δ de
Chapitre II. Enoncés des résultats
pas du choix de b. Il est utile de donner une autre définition. L’intégration définit
un homomorphisme
(4)
C
∞
c ( ˜
G (F )) → C
∞
c,λ
( ˜
G (F ))
˙
f
→
f
Précisément, f (γ
) =
C (F )
˙
f
c (γ
)λ (c)dc pour tout γ
∈ ˜
G (F ), où ˙
f
c (γ
) =
˙
f (cγ
). On remarque que l’ensemble des c pour lesquels ˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
) n’est pas nulle
est compact. Il en résulte que
I ˜
G
( ˙
γ, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)) = I ˜
G
( ˙
γ,
C (F )
˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
)λ (c)dc)
=
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c (b ◦ ˜
H ˜
G
))λ (c)dc
=
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c )λ (c)dc.
Autrement dit,
I ˜
G
(γ, f) =
C (F )
I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f
c )λ (c)dc.
L’homomorphisme (3) est surjectif (les intégrales orbitales qui engendrent l’espace
d’arrivée sont clairement dans l’image). Le groupe C (F ) agit sur C
∞
c ( ˜
G (F ))
par (c, ˙
f ) → ˙
f
c . On en déduit une action duale sur D g´ eom ( ˜
G (F )) de sorte que
I ˜
G
( ˙
γ
c , ˙
f
c ) = I ˜
G
( ˙
γ, ˙
f ). On vérifie en utilisant la deuxième forme de la définition
que le noyau de l’homomorphisme (3) est engendré par les ˙
γ
c
− λ (c) ˙
γ pour ˙
γ ∈
D g´ eom ( ˜
G (F )) et c ∈ C (F ). Il est peut-être moins clair que
(5) D
st
g´ eom,λ
( ˜
G (F )) est l’image de D
st
g´ eom ( ˜
G (F )) par l’homomorphisme (3).
Preuve. Soient ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
G (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) dont toutes les intégrales
orbitales régulières stables sont nulles. On a I ˜
G
(δ, f) = I ˜
G
( ˙
δ, f(b ◦ ˜
H ˜
G )) où b est
comme ci-dessus. Il est clair que toutes les intégrales orbitales régulières stables
de f (b ◦ ˜
H ˜
G ) sont elles-aussi nulles. Donc I ˜
G
( ˙
δ, f(b ◦ ˜
H ˜
G )) = 0, donc I ˜
G
(δ, f) =
0 donc δ est stable. Inversement, soit ˙
δ ∈ D g´ eom ( ˜
G (F )) tel que δ soit stable.
Introduisons le groupe dérivé G ,der . Le groupe C (F ) agit sur G ,der (F )\ ˜
G (F ).
En ajoutant à ˙
δ un élément du noyau de l’homomorphisme (3), on peut supposer
que l’image du support de ˙
δ dans G ,der (F )\ ˜
G (F ) est de la forme {x 1 , . . . , x n }
où, pour i = j, x i et x j ne sont pas dans la même orbite pour l’action de C (F ).
L’intersection Δ = C (F ) ∩ G ,der (F ) est finie. Quitte à moyenner sur ce groupe,
ce qui ne change pas δ, on peut supposer ˙
δ
c = λ (c) ˙
δ pour c ∈ Δ. On va montrer
qu’alors, ˙
δ est stable. Soit ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) dont toutes les intégrales orbitales
régulières stables sont nulles. Introduisons sa moyenne ˙
f 0 sur le groupe Δ de