II.1. Intégrales orbitales pondérées
215
sorte que ˙
f
c
0 = λ (c)
−1 ˙
f 0 pour c ∈ Δ. Ses intégrales orbitales régulières stables
sont nulles elles-aussi. Fixons un supplémentaire s de c (F ) dans z G (F ) et un
voisinage ouvert U de 0 dans s. Posons U = exp(U). Pour tout i = 1, . . . , n,
choisissons δ i ∈ ˜
G (F ) se projetant sur x i et considérons l’application
p i : U × C (F ) × G ,der (F ) → ˜
G (F )
(u, c, g)
→ ucgδ i .
Elle est continue et ouverte. En choisissant U assez petit, on peut supposer que p i
se quotiente en un isomorphisme de Δ\(U × C (F ) × G ,der (F )) sur son image, où
Δ agit sur U × C (F ) × G ,der (F ) via son plongement antidiagonal dans C (F ) ×
G ,der (F ). On peut aussi supposer que, pour i = j, les images de p i et p j sont
d’adhérences disjointes. Fixons une fonction ϕ ∈ C
∞
c (U ) telle ϕ(1) = 1. Définissons
une fonction f i sur U × C (F ) × G ,der (F ) par
f i (u, c, g) = λ (c)
−1 ϕ(u) ˙
f 0 (gδ i ).
A cause de la propriété de transformation de ˙
f 0 par Δ, f i se factorise par l’application p i . On peut donc définir une fonction f sur ˜
G (F ) qui est nulle hors de la
réunion des images des p i et qui vérifie f ◦ p i = f i pour tout i. Cette fonction appartient à C
∞
c,λ
( ˜
G (F )). Les intégrales orbitales régulières stables de f sont nulles.
En effet, cette condition se lit sur les fibres de l’application
˜
G (F ) → G ,der (F )\ ˜
G (F ).
Or, sur une telle fibre, f coïncide à une translation près avec un multiple de la
restriction de ˙
f 0 à une fibre au-dessus de l’un des x i . Par ailleurs, sur une telle
fibre au-dessus de l’un des x i , f coïncide exactement avec ˙
f 0 . En appliquant la
définition, on en déduit que I ˜
G
(δ, f) = I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f 0 ). Puisque δ est stable, le premier
membre de cette égalité est nul, donc aussi le deuxième. Puisque l’on a pris soin
de moyenner ˙
δ, on a aussi I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f 0 ) = I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f ). Donc I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f ) = 0, ce qu’il fallait
démontrer.
Soient ˙
η ∈ ˜
G ,ss (F ) et η son image dans ˜
G (F ). Les groupes G , ˙
η et G η ont
le même système de racines. On peut identifier la fonction B η à une fonction sur
le système de racines du premier groupe. Cela munit ˜
G d’un système de fonctions
que nous notons encore B.
Soit ˜
M l’espace de Levi de ˜
G associé à ˜
M . Pour ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) et
f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), posons
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)),
où b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ,F ) vaut 1 sur la projection du support de δ. Cette définition est
loisible d’après la propriété (2). Remarquons que le même raisonnement conduisant
215
sorte que ˙
f
c
0 = λ (c)
−1 ˙
f 0 pour c ∈ Δ. Ses intégrales orbitales régulières stables
sont nulles elles-aussi. Fixons un supplémentaire s de c (F ) dans z G (F ) et un
voisinage ouvert U de 0 dans s. Posons U = exp(U). Pour tout i = 1, . . . , n,
choisissons δ i ∈ ˜
G (F ) se projetant sur x i et considérons l’application
p i : U × C (F ) × G ,der (F ) → ˜
G (F )
(u, c, g)
→ ucgδ i .
Elle est continue et ouverte. En choisissant U assez petit, on peut supposer que p i
se quotiente en un isomorphisme de Δ\(U × C (F ) × G ,der (F )) sur son image, où
Δ agit sur U × C (F ) × G ,der (F ) via son plongement antidiagonal dans C (F ) ×
G ,der (F ). On peut aussi supposer que, pour i = j, les images de p i et p j sont
d’adhérences disjointes. Fixons une fonction ϕ ∈ C
∞
c (U ) telle ϕ(1) = 1. Définissons
une fonction f i sur U × C (F ) × G ,der (F ) par
f i (u, c, g) = λ (c)
−1 ϕ(u) ˙
f 0 (gδ i ).
A cause de la propriété de transformation de ˙
f 0 par Δ, f i se factorise par l’application p i . On peut donc définir une fonction f sur ˜
G (F ) qui est nulle hors de la
réunion des images des p i et qui vérifie f ◦ p i = f i pour tout i. Cette fonction appartient à C
∞
c,λ
( ˜
G (F )). Les intégrales orbitales régulières stables de f sont nulles.
En effet, cette condition se lit sur les fibres de l’application
˜
G (F ) → G ,der (F )\ ˜
G (F ).
Or, sur une telle fibre, f coïncide à une translation près avec un multiple de la
restriction de ˙
f 0 à une fibre au-dessus de l’un des x i . Par ailleurs, sur une telle
fibre au-dessus de l’un des x i , f coïncide exactement avec ˙
f 0 . En appliquant la
définition, on en déduit que I ˜
G
(δ, f) = I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f 0 ). Puisque δ est stable, le premier
membre de cette égalité est nul, donc aussi le deuxième. Puisque l’on a pris soin
de moyenner ˙
δ, on a aussi I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f 0 ) = I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f ). Donc I
˜
G ( ˙
δ, ˙
f ) = 0, ce qu’il fallait
démontrer.
Soient ˙
η ∈ ˜
G ,ss (F ) et η son image dans ˜
G (F ). Les groupes G , ˙
η et G η ont
le même système de racines. On peut identifier la fonction B η à une fonction sur
le système de racines du premier groupe. Cela munit ˜
G d’un système de fonctions
que nous notons encore B.
Soit ˜
M l’espace de Levi de ˜
G associé à ˜
M . Pour ˙
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) et
f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), posons
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f(b ◦ ˜
H ˜
G
)),
où b ∈ C
∞
c ( ˜
A ˜
G ,F ) vaut 1 sur la projection du support de δ. Cette définition est
loisible d’après la propriété (2). Remarquons que le même raisonnement conduisant