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Chapitre II. Enoncés des résultats
à la deuxième définition de l’homomorphisme (3) conduit à une deuxième forme
de la définition ci-dessus :
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) =
C (F )
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, ˙
f
c )λ (c)dc,
où ˙
f est relié à f par (4). L’une des propriétés requises est :
(6) S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) ne dépend que de l’image δ de ˙
δ dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )).
En utilisant (5) et (6), on peut définir S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, B, f) pour
δ ∈ D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )),
par
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f)
où ˙
δ est n’importe quel élément de D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) d’image δ. La propriété (1)
reste vérifiée dans cette situation plus générale.
Considérons maintenant deux couples d’extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
et deux caractères λ et λ vérifiant les hypothèses précédentes. Introduisons le
produit fibré G ,, de G et G au-dessus de G et le produit fibré ˜
G ,, de ˜
G et ˜
G
au-dessus de ˜
G. Supposons donné un caractère λ ,, de G ,, (F ) dont la restriction
à C (F ) × C (F ) soit λ × λ
−1
. Supposons donnée une fonction non nulle ˜
λ ,,
sur ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, , cf. [I] 2.5(i). On définit un
isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) → C
∞
c,λ
( ˜
G (F ))
f
→
f
par f (γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )f (γ ), où γ est n’importe quel élément de ˜
G (F ) tel que
(γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (F ). Par restriction à ˜
M puis dualité, on a aussi un isomorphisme de
D g´ eom,λ ( ˜
M (F )) sur D g´ eom,λ ( ˜
M (F )), qui se restreint en un isomorphisme entre
espace de distributions stables. Pour f et f , resp. δ et δ , se correspondant par
ces isomorphismes, on veut que
(7) S
G
M ,λ
(δ , B, f ) = S
G
M ,λ
(δ , B, f ).
Soient G
= (G
, ˜
G
, s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G) (on oublie a qui
est trivial) et un Levi de G
associé à ˜
M et à sa donnée endoscopique maximale
M (cf. [I] 1.7). On note encore M ce Levi. Soit ∈ ˜
G
(F ) un élément semi-simple.
Alors il lui correspond un élément semi-simple η ∈ ˜
G(F ) (la preuve est la même
Chapitre II. Enoncés des résultats
à la deuxième définition de l’homomorphisme (3) conduit à une deuxième forme
de la définition ci-dessus :
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) =
C (F )
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, ˙
f
c )λ (c)dc,
où ˙
f est relié à f par (4). L’une des propriétés requises est :
(6) S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) ne dépend que de l’image δ de ˙
δ dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )).
En utilisant (5) et (6), on peut définir S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, B, f) pour
δ ∈ D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )),
par
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f)
où ˙
δ est n’importe quel élément de D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) d’image δ. La propriété (1)
reste vérifiée dans cette situation plus générale.
Considérons maintenant deux couples d’extensions
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
1 → C → G → G → 1 et ˜
G → ˜
G
et deux caractères λ et λ vérifiant les hypothèses précédentes. Introduisons le
produit fibré G ,, de G et G au-dessus de G et le produit fibré ˜
G ,, de ˜
G et ˜
G
au-dessus de ˜
G. Supposons donné un caractère λ ,, de G ,, (F ) dont la restriction
à C (F ) × C (F ) soit λ × λ
−1
. Supposons donnée une fonction non nulle ˜
λ ,,
sur ˜
G ,, (F ) qui se transforme selon le caractère λ ,, , cf. [I] 2.5(i). On définit un
isomorphisme
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) → C
∞
c,λ
( ˜
G (F ))
f
→
f
par f (γ ) = ˜
λ ,, (γ , γ )f (γ ), où γ est n’importe quel élément de ˜
G (F ) tel que
(γ , γ ) ∈ ˜
G ,, (F ). Par restriction à ˜
M puis dualité, on a aussi un isomorphisme de
D g´ eom,λ ( ˜
M (F )) sur D g´ eom,λ ( ˜
M (F )), qui se restreint en un isomorphisme entre
espace de distributions stables. Pour f et f , resp. δ et δ , se correspondant par
ces isomorphismes, on veut que
(7) S
G
M ,λ
(δ , B, f ) = S
G
M ,λ
(δ , B, f ).
Soient G
= (G
, ˜
G
, s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G) (on oublie a qui
est trivial) et un Levi de G
associé à ˜
M et à sa donnée endoscopique maximale
M (cf. [I] 1.7). On note encore M ce Levi. Soit ∈ ˜
G
(F ) un élément semi-simple.
Alors il lui correspond un élément semi-simple η ∈ ˜
G(F ) (la preuve est la même