II.1. Intégrales orbitales pondérées
217
que celle du lemme 1.10 de [I]). Le système de racines de G
est un sous-système
de celui de G η . On le munit de la restriction de la fonction B η . On obtient ainsi
un système de fonctions sur G
(F ) vérifiant encore les hypothèses de 1.9. On
note encore B ce système de fonctions. Dans la définition des intégrales orbitales
pondérées pour ˜
G intervient une mesure que l’on a déduite en 1.2 d’une forme
quadratique sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Il convient de faire un choix analogue pour ˜
G
. Si
G
n’est pas elliptique, ce choix n’importe pas. Si G
est elliptique, on remarque
que, sur ¯
F , on peut identifier un tore maximal de G
à T
∗ . On choisit alors les
mesures qui se déduisent de la même forme quadratique sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Soient
δ ∈ D
st
g´ eom (M) et f ∈ SI(G
). Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 . Alors
δ s’identifie à un élément de D g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F )) et f s’identifie à un élément de
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )). En vertu de (1) et (6), le terme S
˜
G
1
˜
M1,λ1
(δ, B, f ) est défini. En vertu
de (7), il ne dépend pas du choix des données auxiliaires. On pose
S
G
M (δ, B, f ) = S
˜
G
1
˜
M1,λ1
(δ, B, f ).
On rétablit maintenant les espaces de mesures pour donner des définitions
plus canoniques. Considérons une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de
ˆ
G. Comme on l’a dit en [I] 1.4, on peut modifier l’action galoisienne de Γ F sur ˆ
G
de sorte qu’elle préserve cette paire et on peut introduire l’élément ˆ
θ ∈ ˆ
G ˆ
θ tel que
ad ˆ
θ conserve cette paire. En choisissant convenablement celle-ci, on peut supposer
que ˆ
M est un Levi standard et que le L-espace
L ˜
M est égal à ( ˆ
M W F ) ˆ
θ. Pour
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on a défini en [I] 3.3 la donnée endoscopique G
(s) qui
vérifie les hypothèses ci-dessus. On pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) =
[Z( ˆ
G
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si G
(s) est elliptique,
0,
sinon.
Une définition plus générale sera donnée en 1.12.
Après tous ces préliminaires, on peut définir S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) pour
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
par l’égalité
(8)
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f )
= I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
Tous les termes du membre de droite ont été définis grâce aux hypothèses de
récurrence.
On doit montrer que le terme ainsi défini vérifie lui-même ces hypothèses.
On va le faire ci-dessous en ce qui concerne les propriétés formelles. La propriété
(1) est évidemment plus difficile. Formulons-la provisoirement sous la forme d’un
théorème à prouver.
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que celle du lemme 1.10 de [I]). Le système de racines de G
est un sous-système
de celui de G η . On le munit de la restriction de la fonction B η . On obtient ainsi
un système de fonctions sur G
(F ) vérifiant encore les hypothèses de 1.9. On
note encore B ce système de fonctions. Dans la définition des intégrales orbitales
pondérées pour ˜
G intervient une mesure que l’on a déduite en 1.2 d’une forme
quadratique sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Il convient de faire un choix analogue pour ˜
G
. Si
G
n’est pas elliptique, ce choix n’importe pas. Si G
est elliptique, on remarque
que, sur ¯
F , on peut identifier un tore maximal de G
à T
∗ . On choisit alors les
mesures qui se déduisent de la même forme quadratique sur X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. Soient
δ ∈ D
st
g´ eom (M) et f ∈ SI(G
). Fixons des données auxiliaires G
1 , . . . , Δ 1 . Alors
δ s’identifie à un élément de D g´ eom,λ1 ( ˜
G
1 (F )) et f s’identifie à un élément de
SI λ1 ( ˜
G
1 (F )). En vertu de (1) et (6), le terme S
˜
G
1
˜
M1,λ1
(δ, B, f ) est défini. En vertu
de (7), il ne dépend pas du choix des données auxiliaires. On pose
S
G
M (δ, B, f ) = S
˜
G
1
˜
M1,λ1
(δ, B, f ).
On rétablit maintenant les espaces de mesures pour donner des définitions
plus canoniques. Considérons une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de
ˆ
G. Comme on l’a dit en [I] 1.4, on peut modifier l’action galoisienne de Γ F sur ˆ
G
de sorte qu’elle préserve cette paire et on peut introduire l’élément ˆ
θ ∈ ˆ
G ˆ
θ tel que
ad ˆ
θ conserve cette paire. En choisissant convenablement celle-ci, on peut supposer
que ˆ
M est un Levi standard et que le L-espace
L ˜
M est égal à ( ˆ
M W F ) ˆ
θ. Pour
s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on a défini en [I] 3.3 la donnée endoscopique G
(s) qui
vérifie les hypothèses ci-dessus. On pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) =
[Z( ˆ
G
(s))
ΓF : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si G
(s) est elliptique,
0,
sinon.
Une définition plus générale sera donnée en 1.12.
Après tous ces préliminaires, on peut définir S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) pour
δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗
et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F ))
par l’égalité
(8)
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f )
= I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) −
s∈Z( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F ;s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
Tous les termes du membre de droite ont été définis grâce aux hypothèses de
récurrence.
On doit montrer que le terme ainsi défini vérifie lui-même ces hypothèses.
On va le faire ci-dessous en ce qui concerne les propriétés formelles. La propriété
(1) est évidemment plus difficile. Formulons-la provisoirement sous la forme d’un
théorème à prouver.