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Chapitre II. Enoncés des résultats
Théorème (à prouver). Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) est stable.
La preuve sera donnée en deux temps. D’abord en [III] 2.8 mais sous une
hypothèse de régularité du support de δ. Celle-ci sera levée et le théorème sera
entièrement démontré en [III] 7.6.
Remarques.
(i) Si ˜
M = ˜
G, on a simplement S
˜
G
˜
G
(δ, B, f ) = I
˜
G (δ, f ) et l’assertion du théorème
est tautologique.
(ii) S’il n’y a pas du tout de torsion, c’est-à-dire si ˜
G = G, et si de plus B η est
constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
G ss (F ), le théorème a été prouvé par
Arthur pour les éléments δ dont le support est formé d’éléments fortement
˜
G-réguliers ([18] local theorem 1(b)). Notre preuve consistera à déduire le
théorème ci-dessus de celui d’Arthur.
La vérification des propriétés formelles est fastidieuse mais il est peut-être
bon de la faire tout-de-même. Dans la suite, on ne fera plus de telles vérifications.
Vérifions (2). Soit G
une donnée endoscopique relevante et elliptique de
(G, ˜
G). Appliquons [I] 1.12 en se rappelant que le groupe G 0 de ce paragraphe
est égal à G puisque (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et sans torsion. On obtient un
homomorphisme N
G
,G : G
ab (F ) → G ab (F ) et une application N
˜
G
, ˜
G : ˜
G
ab (F ) →
˜
G ab (F ) compatible à cet homomorphisme. Les applications H ˜
G et ˜
H ˜
G définies sur
G(F ) et ˜
G(F ) se factorisent par G ab (F ) et ˜
G ab (F ) et il y a bien sûr une assertion
analogue pour les applications H ˜
G et ˜
H ˜
G . Par ailleurs, il y a un isomorphisme
A ˜
G A ˜
G puisque G
est elliptique. En reprenant les définitions, on voit qu’il y
a un diagramme commutatif
G
ab (F )
N
G ,G
/ /
H ˜
G
G ab (F )
H ˜
G
A ˜
G ,F
/ / A ˜
G,F
où l’homomorphisme horizontal du bas est la restriction de l’isomorphisme A ˜
G
A ˜
G . On en déduit qu’il y a un diagramme commutatif similaire
˜
G
ab (F )
N
˜
G , ˜
G
/ /
˜
H ˜
G
˜
G ab (F )
˜
H ˜
G
˜
A ˜
G ,F
/ / ˜
A ˜
G,F
où la flèche horizontale du bas est compatible à l’homomorphisme du diagramme
précédent. En particulier, elle est injective. Soient δ, f et b comme dans la rela-
Chapitre II. Enoncés des résultats
Théorème (à prouver). Pour δ ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ⊗ Mes(M (F ))
∗ , la distribution
f → S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) est stable.
La preuve sera donnée en deux temps. D’abord en [III] 2.8 mais sous une
hypothèse de régularité du support de δ. Celle-ci sera levée et le théorème sera
entièrement démontré en [III] 7.6.
Remarques.
(i) Si ˜
M = ˜
G, on a simplement S
˜
G
˜
G
(δ, B, f ) = I
˜
G (δ, f ) et l’assertion du théorème
est tautologique.
(ii) S’il n’y a pas du tout de torsion, c’est-à-dire si ˜
G = G, et si de plus B η est
constante de valeur 1 pour tout η ∈ ˜
G ss (F ), le théorème a été prouvé par
Arthur pour les éléments δ dont le support est formé d’éléments fortement
˜
G-réguliers ([18] local theorem 1(b)). Notre preuve consistera à déduire le
théorème ci-dessus de celui d’Arthur.
La vérification des propriétés formelles est fastidieuse mais il est peut-être
bon de la faire tout-de-même. Dans la suite, on ne fera plus de telles vérifications.
Vérifions (2). Soit G
une donnée endoscopique relevante et elliptique de
(G, ˜
G). Appliquons [I] 1.12 en se rappelant que le groupe G 0 de ce paragraphe
est égal à G puisque (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et sans torsion. On obtient un
homomorphisme N
G
,G : G
ab (F ) → G ab (F ) et une application N
˜
G
, ˜
G : ˜
G
ab (F ) →
˜
G ab (F ) compatible à cet homomorphisme. Les applications H ˜
G et ˜
H ˜
G définies sur
G(F ) et ˜
G(F ) se factorisent par G ab (F ) et ˜
G ab (F ) et il y a bien sûr une assertion
analogue pour les applications H ˜
G et ˜
H ˜
G . Par ailleurs, il y a un isomorphisme
A ˜
G A ˜
G puisque G
est elliptique. En reprenant les définitions, on voit qu’il y
a un diagramme commutatif
G
ab (F )
N
G ,G
/ /
H ˜
G
G ab (F )
H ˜
G
A ˜
G ,F
/ / A ˜
G,F
où l’homomorphisme horizontal du bas est la restriction de l’isomorphisme A ˜
G
A ˜
G . On en déduit qu’il y a un diagramme commutatif similaire
˜
G
ab (F )
N
˜
G , ˜
G
/ /
˜
H ˜
G
˜
G ab (F )
˜
H ˜
G
˜
A ˜
G ,F
/ / ˜
A ˜
G,F
où la flèche horizontale du bas est compatible à l’homomorphisme du diagramme
précédent. En particulier, elle est injective. Soient δ, f et b comme dans la rela-