II.1. Intégrales orbitales pondérées
219
tion (2). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on vérifie que le transfert (f (b ◦ ˜
H ˜
G ))
G
(s) est
égal à f
G
(s) (b ◦ ˜
H ˜
G (s) ). Pour s = 1, les hypothèses de récurrence assurent que
S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) (b ◦ ˜
H ˜
G (s) )) = S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
D’après 1.7(1), on a aussi
I
˜
G
˜
M
(δ, B, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Il suffit d’appliquer la relation (8) à f et f (b ◦ H ˜
G ) pour obtenir la relation (2).
Vérifions (6). Soient ˙
δ et ˙
δ
deux éléments de D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ayant même
image dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )). Soit f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )).
On veut montrer que S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ
, B, f). On choisit ˙
f relié à f
par (4). Montrons que
(9)
C (F )
I
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, ˙
f
c )λ (c)dc =
C (F )
I
˜
G
˜
M
( ˙
δ
, B, ˙
f
c )λ (c)dc.
D’après la description du noyau de l’homomorphisme (3), ˙
δ − ˙
δ
est une somme
de termes ˙
γ
c
− λ (c) ˙
γ, avec ˙
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) et c ∈ C (F ). Alors (9) résulte de
l’égalité
I
˜
G
˜
M
( ˙
γ
c , B, ˙
f
c ) = I
˜
G
˜
M
( ˙
γ, B, ˙
f )
pour ˙
γ et c comme ci-dessus. On peut supposer que ˙
γ est une intégrale orbitale.
La relation 1.9(5) nous ramène alors à prouver l’égalité ci-dessus pour le système
de fonctions B dont toutes les valeurs sont égales à 1. Dans ce cas, l’égalité résulte
de la même égalité pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes (qui
est triviale) et de la relation φ ˜
L
( ˙
f
c ) = (φ ˜
L
( ˙
f ))
c pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ). Cette
propriété résulte immédiatement de la définition de l’application φ ˜
L
.
On a la suite exacte
1 → Z( ˆ
G) → Z( ˆ
G ) → Z( ˆ
C ) → 1
Le groupe Z( ˆ
C )
ΓF est connexe puisque C est induit. La suite d’invariants
1 → Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
G )
ΓF
→ Z( ˆ
C )
ΓF
→ 1
est donc encore exacte. On a une suite analogue en remplaçant ˆ
G par ˆ
M et ˆ
G
par ˆ
M . Puisque Z( ˆ
G )
ΓF se projette surjectivement sur Z( ˆ
C )
ΓF , on en déduit
l’égalité
Z( ˆ
M )
ΓF = Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G )
ΓF .
Autrement dit, l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G )
ΓF
219
tion (2). Pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , on vérifie que le transfert (f (b ◦ ˜
H ˜
G ))
G
(s) est
égal à f
G
(s) (b ◦ ˜
H ˜
G (s) ). Pour s = 1, les hypothèses de récurrence assurent que
S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) (b ◦ ˜
H ˜
G (s) )) = S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
D’après 1.7(1), on a aussi
I
˜
G
˜
M
(δ, B, f (b ◦ ˜
H ˜
G )) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Il suffit d’appliquer la relation (8) à f et f (b ◦ H ˜
G ) pour obtenir la relation (2).
Vérifions (6). Soient ˙
δ et ˙
δ
deux éléments de D
st
g´ eom ( ˜
M (F )) ayant même
image dans D
st
g´ eom,λ
( ˜
M (F )). Soit f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )).
On veut montrer que S
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, f) = S
˜
G
˜
M
( ˙
δ
, B, f). On choisit ˙
f relié à f
par (4). Montrons que
(9)
C (F )
I
˜
G
˜
M
( ˙
δ, B, ˙
f
c )λ (c)dc =
C (F )
I
˜
G
˜
M
( ˙
δ
, B, ˙
f
c )λ (c)dc.
D’après la description du noyau de l’homomorphisme (3), ˙
δ − ˙
δ
est une somme
de termes ˙
γ
c
− λ (c) ˙
γ, avec ˙
γ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) et c ∈ C (F ). Alors (9) résulte de
l’égalité
I
˜
G
˜
M
( ˙
γ
c , B, ˙
f
c ) = I
˜
G
˜
M
( ˙
γ, B, ˙
f )
pour ˙
γ et c comme ci-dessus. On peut supposer que ˙
γ est une intégrale orbitale.
La relation 1.9(5) nous ramène alors à prouver l’égalité ci-dessus pour le système
de fonctions B dont toutes les valeurs sont égales à 1. Dans ce cas, l’égalité résulte
de la même égalité pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes (qui
est triviale) et de la relation φ ˜
L
( ˙
f
c ) = (φ ˜
L
( ˙
f ))
c pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ). Cette
propriété résulte immédiatement de la définition de l’application φ ˜
L
.
On a la suite exacte
1 → Z( ˆ
G) → Z( ˆ
G ) → Z( ˆ
C ) → 1
Le groupe Z( ˆ
C )
ΓF est connexe puisque C est induit. La suite d’invariants
1 → Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
G )
ΓF
→ Z( ˆ
C )
ΓF
→ 1
est donc encore exacte. On a une suite analogue en remplaçant ˆ
G par ˆ
M et ˆ
G
par ˆ
M . Puisque Z( ˆ
G )
ΓF se projette surjectivement sur Z( ˆ
C )
ΓF , on en déduit
l’égalité
Z( ˆ
M )
ΓF = Z( ˆ
M )
ΓF Z( ˆ
G )
ΓF .
Autrement dit, l’homomorphisme
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G )
ΓF