220
Chapitre II. Enoncés des résultats
est surjectif. Il est aussi injectif, donc bijectif. Un élément s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
définit donc à la fois une donnée endoscopique G
(s) de (G, ˜
G) et une donnée
endoscopique G
(s) de (G , ˜
G ). On a une suite exacte
1 → C → G
(s) → G
(s) → 1
et une application compatible
˜
G
(s) → ˜
G
(s).
Par un calcul similaire à celui ci-dessus, on montre que i ˜
M
( ˜
G , ˜
G
(s)) =
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)). On simplifie les calculs ultérieurs en remarquant que, pour la donnée
G
(s), on peut choisir des données auxiliaires G
(s) 1 , . . . , Δ(s) 1 telles que G
(s) 1 =
G
(s), ˜
G
(s) 1 = ˜
G
(s), C(s) 1 = {1}. Pour le prouver, il suffit de montrer que
(10) G
(s) est isomorphe à
L G
(s).
Remarque. A première vue, cela paraît évident puisque G
(s) est égal au sousgroupe ˆ
G
(s) W F de
L G. Mais l’action de W F sur ˆ
G
(s) est ici la restriction de
l’action sur ˆ
G. Elle n’est pas équivalente, en général, à l’action sur ˆ
G
(s) considéré
comme L-groupe de G
(s). Plus exactement, elle ne conserve pas, en général, un
épinglage de ˆ
G
(s) (contre-exemple : G = U (3), s tel que G
(s) = U (2) × U (1)).
Preuve de (10). Soit ˆ
P le sous-groupe parabolique standard de Levi ˆ
M . Alors
ˆ
P ∩ ˆ
G
(s) est un sous-groupe parabolique de ˆ
G
(s), de Levi ˆ
M , et il est conservé
par l’action de W F (la restriction de celle sur ˆ
G). On prend pour ˆ
B
l’unique
Borel contenu dans ˆ
P ∩ ˆ
G
(s) qui a même intersection avec ˆ
M que ˆ
B. On prend
ˆ
T
= ˆ
T . On prend pour épinglage ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s) un épinglage quelconque contenant ( ˆ
E α ) α∈ ˆ
Δ M , où ˆ
Δ
M est le sous-ensemble de ˆ
Δ associé à ˆ
M . L’action de
W F conserve ˆ
B
, ˆ
T
et le sous-ensemble ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ M . Elle ne conserve pas, en
général, le complémentaire ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s)− ˆ
Δ M . Mais il existe un unique cocycle
χ ad : W F → Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G
(s)) tel que l’action w → ad χ ad (w) w G conserve cet
épinglage. On peut supposer que l’action de W F sur ˆ
G
(s) considéré comme le
L-groupe de G
(s) est w → w G (s) = ad χ ad (w) w G . Supposons prouvé que χ ad se
relève en un cocycle χ : W F → Z( ˆ
M ). On définit alors une application
ˆ
ξ(s) : G
(s) ˆ
G
(s) W F →
L G
(s) ˆ
G
(s) W F
(x, w)
→
(xχ(w)
−1 , w)
(les deux produits semi-directs sont relatifs aux deux actions de W F ). C’est un
isomorphisme, ce qui prouve (10). Il reste à prouver l’assertion de relèvement. On
va en fait prouver que χ ad se relève en un cocycle χ sc : W F → Z( ˆ
M sc ). Supposons
que la condition suivante soit satisfaite :
(11) pour toute racine α de ˆ
T dans ˆ
G et pour tout w ∈ W F fixant α, l’action w G
sur l’espace radiciel associé à α soit l’identité.
Chapitre II. Enoncés des résultats
est surjectif. Il est aussi injectif, donc bijectif. Un élément s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
définit donc à la fois une donnée endoscopique G
(s) de (G, ˜
G) et une donnée
endoscopique G
(s) de (G , ˜
G ). On a une suite exacte
1 → C → G
(s) → G
(s) → 1
et une application compatible
˜
G
(s) → ˜
G
(s).
Par un calcul similaire à celui ci-dessus, on montre que i ˜
M
( ˜
G , ˜
G
(s)) =
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)). On simplifie les calculs ultérieurs en remarquant que, pour la donnée
G
(s), on peut choisir des données auxiliaires G
(s) 1 , . . . , Δ(s) 1 telles que G
(s) 1 =
G
(s), ˜
G
(s) 1 = ˜
G
(s), C(s) 1 = {1}. Pour le prouver, il suffit de montrer que
(10) G
(s) est isomorphe à
L G
(s).
Remarque. A première vue, cela paraît évident puisque G
(s) est égal au sousgroupe ˆ
G
(s) W F de
L G. Mais l’action de W F sur ˆ
G
(s) est ici la restriction de
l’action sur ˆ
G. Elle n’est pas équivalente, en général, à l’action sur ˆ
G
(s) considéré
comme L-groupe de G
(s). Plus exactement, elle ne conserve pas, en général, un
épinglage de ˆ
G
(s) (contre-exemple : G = U (3), s tel que G
(s) = U (2) × U (1)).
Preuve de (10). Soit ˆ
P le sous-groupe parabolique standard de Levi ˆ
M . Alors
ˆ
P ∩ ˆ
G
(s) est un sous-groupe parabolique de ˆ
G
(s), de Levi ˆ
M , et il est conservé
par l’action de W F (la restriction de celle sur ˆ
G). On prend pour ˆ
B
l’unique
Borel contenu dans ˆ
P ∩ ˆ
G
(s) qui a même intersection avec ˆ
M que ˆ
B. On prend
ˆ
T
= ˆ
T . On prend pour épinglage ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s) un épinglage quelconque contenant ( ˆ
E α ) α∈ ˆ
Δ M , où ˆ
Δ
M est le sous-ensemble de ˆ
Δ associé à ˆ
M . L’action de
W F conserve ˆ
B
, ˆ
T
et le sous-ensemble ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ M . Elle ne conserve pas, en
général, le complémentaire ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s)− ˆ
Δ M . Mais il existe un unique cocycle
χ ad : W F → Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G
(s)) tel que l’action w → ad χ ad (w) w G conserve cet
épinglage. On peut supposer que l’action de W F sur ˆ
G
(s) considéré comme le
L-groupe de G
(s) est w → w G (s) = ad χ ad (w) w G . Supposons prouvé que χ ad se
relève en un cocycle χ : W F → Z( ˆ
M ). On définit alors une application
ˆ
ξ(s) : G
(s) ˆ
G
(s) W F →
L G
(s) ˆ
G
(s) W F
(x, w)
→
(xχ(w)
−1 , w)
(les deux produits semi-directs sont relatifs aux deux actions de W F ). C’est un
isomorphisme, ce qui prouve (10). Il reste à prouver l’assertion de relèvement. On
va en fait prouver que χ ad se relève en un cocycle χ sc : W F → Z( ˆ
M sc ). Supposons
que la condition suivante soit satisfaite :
(11) pour toute racine α de ˆ
T dans ˆ
G et pour tout w ∈ W F fixant α, l’action w G
sur l’espace radiciel associé à α soit l’identité.