II.1. Intégrales orbitales pondérées
221
Dans ce cas, on modifie l’ensemble ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s)− ˆ
Δ M de la façon suivante. On
fixe un ensemble de représentants ˆ
Δ
1 des orbites de W F dans ˆ
Δ
(s) − ˆ
Δ
M . On
fixe arbitrairement ˆ
E
α pour α ∈ ˆ
Δ
1 . Pour α ∈ ˆ
Δ
(s) − ˆ
Δ
M quelconque, on écrit
α = w G α 1 avec w ∈ W F et α 1 ∈ ˆ
Δ
1 et on pose ˆ
E
α = w G ( ˆ
E
α1 ). L’hypothèse (11)
assure que cette définition est loisible. L’épinglage obtenu est conservé par W F .
Notons que changer d’épinglage ne change pas la classe du cocycle χ ad . Donc cette
classe est triviale. Cela entraîne que χ ad se relève bien en un cocycle χ sc . Revenons
maintenant au cas général. L’action galoisienne permute les composantes simples
du groupe ˆ
G AD et notre problème se ramène immédiatement au cas où cette
action est transitive, donc toutes les composantes simples sont du même type.
L’action galoisienne se fait par automorphismes préservant une paire de Borel
épinglée. On sait qu’à une exception près, l’hypothèse (11) est satisfaite (auquel
cas le problème est résolu), cf. [48] 1.3. Décrivons l’exception. On considère une
tour d’extensions F 2 /F 1 /F , avec F 2 /F 1 quadratique, et un groupe linéaire adjoint
ˆ
G 1,AD = P GL(2n + 1, C) muni de l’action de Γ F1 pour laquelle un élément de
Γ F1 − Γ F2 agit par un automorphisme extérieur non trivial. Le groupe ˆ
G AD est
déduit de ˆ
G 1,AD par changement de base de F 1 à F . Dans ce cas, il y a des couples
(α, w) vérifiant les hypothèses de (11) tels que l’action w G sur l’espace radiciel
associé à α soit moins l’identité. En tout cas, la classe de χ ad est d’ordre au plus
2. Puisque ˆ
G n’intervient présentement que via ˆ
G AD et ˆ
G SC , on peut supposer
que ˆ
G est déduit par changement de base d’un groupe ˆ
G = GL(2n + 1, C) muni
de l’action similaire à celle ci-dessus. Le groupe ˆ
G
(s) est alors aussi un produit
de groupes GL(k, C) et son centre est connexe. De cette connexité résulte que
l’homorphisme
H
1 (W F , Z( ˆ
M )) → H
1 (W F , Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G
(s)))
est surjectif ([56] p. 719 (1)). Relevons χ ad en un cocycle χ : W F → Z( ˆ
M ). De
l’homomorphisme
GL(2n + 1, C)
det
→ GL(1, C) Z(GL(2n + 1, C))
se déduit un homomorphisme
ˆ
G
det
→ Z( ˆ
G).
Posons χ sc = (det ◦χ)
−1 χ
2n+1 . Parce que χ ad est au plus d’ordre 2, ce cocycle
χ sc relève encore la classe de χ ad . Mais χ sc prend ses valeurs dans Z( ˆ
M sc ). Cela
achève la preuve de (10).
Choisissons donc des données auxiliaires simples G
(s) 1 = G
(s), ˜
G
(s) 1 =
˜
G
(s), C(s) 1 = {1}, ˆ
ξ(s) 1 , Δ(s) 1 . La preuve ci-dessus montre qu’il y a vraiment
un choix, ˆ
ξ(s) 1 n’est pas canonique. Parce qu’on a dû tordre l’action galoisienne
par un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
M ), on ne peut pas en général choisir Δ(s) 1 égal
à 1 sur la diagonale dans ˜
M (F ) × ˜
M (F ). Le cocycle définit un caractère χ F de
M (F ). En fixant un point base γ ∈ ˜
M (F ), on a une relation Δ(s) 1 (xγ, xγ) =
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Dans ce cas, on modifie l’ensemble ( ˆ
E
α ) α∈ ˆ
Δ (s)− ˆ
Δ M de la façon suivante. On
fixe un ensemble de représentants ˆ
Δ
1 des orbites de W F dans ˆ
Δ
(s) − ˆ
Δ
M . On
fixe arbitrairement ˆ
E
α pour α ∈ ˆ
Δ
1 . Pour α ∈ ˆ
Δ
(s) − ˆ
Δ
M quelconque, on écrit
α = w G α 1 avec w ∈ W F et α 1 ∈ ˆ
Δ
1 et on pose ˆ
E
α = w G ( ˆ
E
α1 ). L’hypothèse (11)
assure que cette définition est loisible. L’épinglage obtenu est conservé par W F .
Notons que changer d’épinglage ne change pas la classe du cocycle χ ad . Donc cette
classe est triviale. Cela entraîne que χ ad se relève bien en un cocycle χ sc . Revenons
maintenant au cas général. L’action galoisienne permute les composantes simples
du groupe ˆ
G AD et notre problème se ramène immédiatement au cas où cette
action est transitive, donc toutes les composantes simples sont du même type.
L’action galoisienne se fait par automorphismes préservant une paire de Borel
épinglée. On sait qu’à une exception près, l’hypothèse (11) est satisfaite (auquel
cas le problème est résolu), cf. [48] 1.3. Décrivons l’exception. On considère une
tour d’extensions F 2 /F 1 /F , avec F 2 /F 1 quadratique, et un groupe linéaire adjoint
ˆ
G 1,AD = P GL(2n + 1, C) muni de l’action de Γ F1 pour laquelle un élément de
Γ F1 − Γ F2 agit par un automorphisme extérieur non trivial. Le groupe ˆ
G AD est
déduit de ˆ
G 1,AD par changement de base de F 1 à F . Dans ce cas, il y a des couples
(α, w) vérifiant les hypothèses de (11) tels que l’action w G sur l’espace radiciel
associé à α soit moins l’identité. En tout cas, la classe de χ ad est d’ordre au plus
2. Puisque ˆ
G n’intervient présentement que via ˆ
G AD et ˆ
G SC , on peut supposer
que ˆ
G est déduit par changement de base d’un groupe ˆ
G = GL(2n + 1, C) muni
de l’action similaire à celle ci-dessus. Le groupe ˆ
G
(s) est alors aussi un produit
de groupes GL(k, C) et son centre est connexe. De cette connexité résulte que
l’homorphisme
H
1 (W F , Z( ˆ
M )) → H
1 (W F , Z( ˆ
M )/Z( ˆ
G
(s)))
est surjectif ([56] p. 719 (1)). Relevons χ ad en un cocycle χ : W F → Z( ˆ
M ). De
l’homomorphisme
GL(2n + 1, C)
det
→ GL(1, C) Z(GL(2n + 1, C))
se déduit un homomorphisme
ˆ
G
det
→ Z( ˆ
G).
Posons χ sc = (det ◦χ)
−1 χ
2n+1 . Parce que χ ad est au plus d’ordre 2, ce cocycle
χ sc relève encore la classe de χ ad . Mais χ sc prend ses valeurs dans Z( ˆ
M sc ). Cela
achève la preuve de (10).
Choisissons donc des données auxiliaires simples G
(s) 1 = G
(s), ˜
G
(s) 1 =
˜
G
(s), C(s) 1 = {1}, ˆ
ξ(s) 1 , Δ(s) 1 . La preuve ci-dessus montre qu’il y a vraiment
un choix, ˆ
ξ(s) 1 n’est pas canonique. Parce qu’on a dû tordre l’action galoisienne
par un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
M ), on ne peut pas en général choisir Δ(s) 1 égal
à 1 sur la diagonale dans ˜
M (F ) × ˜
M (F ). Le cocycle définit un caractère χ F de
M (F ). En fixant un point base γ ∈ ˜
M (F ), on a une relation Δ(s) 1 (xγ, xγ) =