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Chapitre II. Enoncés des résultats
χ F (x)Δ(s) 1 (γ, γ) pour tout x ∈ M (F ). Quoi qu’il en soit, toute distribution δ sur
˜
M (F ), vu comme sous-espace de ˜
G(F ), est le transfert d’une distribution δ(s) sur
˜
M (F ), vu comme sous-espace de ˜
G
(s)(F ).
Pour données auxiliaires de G
(s), on choisit G
(s) 1 = G
(s), ˜
G
(s) 1 =
˜
G
(s), C (s) 1 = {1}. L’homomorphisme ˆ
ξ(s) 1 s’étend en un isomorphisme ˆ
ξ(s) ,1 :
G
(s) →
L G
(s). Pour simplifier, abandonnons les indices 1 superflus. Notons
D ⊂ ˜
G
(s)(F ) × ˜
G(F ) et D ⊂ ˜
G
(s)(F ) × ˜
G (F ) les ensembles de couples d’éléments réguliers se correspondant. Le groupe C (F ) se plonge diagonalement dans
G
(s)(F ) × G (F ). On voit que l’action de ce groupe diagonal préserve D et que
le quotient D / diag(C (F )) s’identifie par projection à D. Notons Δ (s) l’image
réciproque de Δ(s) par cette projection. On vérifie que c’est un facteur de transfert
pour les données auxiliaires définies ci-dessus. Ce sont ces données que l’on utilise
pour réaliser explicitement les termes S
G
(s)
M
(., .).
Pour c ∈ C (F ), on a l’égalité ( ˙
f
c )
˜
G
(s) = ( ˙
f
˜
G
(s) )
c : cela résulte de la
définition du facteur de transfert. Posons
f
˜
G
(s) =
C (F )
( ˙
f
˜
G
(s) )
c λ (c)dc.
Cette fonction appartient à C
∞
c,λ
( ˜
G
(s)(F )). Alors
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc = S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ, B, f
˜
G
(s) ).
Si s = 1, on en déduit l’égalité
(12)
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc
=
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ
(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc.
En effet, c’est l’égalité (6) où l’on remplace ˜
G par ˜
G
(s) et f par f
˜
G
(s) (puisque
s = 1, on peut appliquer (6) par hypothèse de récurrence).
La relation (6) résulte de (9), (12) et des définitions.
Remarquons que l’on peut définir I
˜
G
˜
M ,λ
(γ, B, f) pour γ ∈ D g´ eom,λ ( ˜
M (F ))
et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), de même que l’on a défini S
˜
G
˜
M ,λ
(γ, B, f). La relation (9)
affirme que cette définition est loisible. On a aussi défini ci-dessus un transfert entre
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) et C
∞
c,λ
( ˜
G
(s; F )). Avec ces définitions, l’égalité (8) se généralise à
δ ∈ D g´ eom,λ ( ˜
M (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )). Considérons le cas particulier où λ est
le caractère trivial 1. Dans ce cas, on a des isomorphismes
C
∞
c,1 ( ˜
G (F )) C
∞
c ( ˜
G(F )), D g´ eom,1 ( ˜
M (F )) D g´ eom ( ˜
M (F ))
Chapitre II. Enoncés des résultats
χ F (x)Δ(s) 1 (γ, γ) pour tout x ∈ M (F ). Quoi qu’il en soit, toute distribution δ sur
˜
M (F ), vu comme sous-espace de ˜
G(F ), est le transfert d’une distribution δ(s) sur
˜
M (F ), vu comme sous-espace de ˜
G
(s)(F ).
Pour données auxiliaires de G
(s), on choisit G
(s) 1 = G
(s), ˜
G
(s) 1 =
˜
G
(s), C (s) 1 = {1}. L’homomorphisme ˆ
ξ(s) 1 s’étend en un isomorphisme ˆ
ξ(s) ,1 :
G
(s) →
L G
(s). Pour simplifier, abandonnons les indices 1 superflus. Notons
D ⊂ ˜
G
(s)(F ) × ˜
G(F ) et D ⊂ ˜
G
(s)(F ) × ˜
G (F ) les ensembles de couples d’éléments réguliers se correspondant. Le groupe C (F ) se plonge diagonalement dans
G
(s)(F ) × G (F ). On voit que l’action de ce groupe diagonal préserve D et que
le quotient D / diag(C (F )) s’identifie par projection à D. Notons Δ (s) l’image
réciproque de Δ(s) par cette projection. On vérifie que c’est un facteur de transfert
pour les données auxiliaires définies ci-dessus. Ce sont ces données que l’on utilise
pour réaliser explicitement les termes S
G
(s)
M
(., .).
Pour c ∈ C (F ), on a l’égalité ( ˙
f
c )
˜
G
(s) = ( ˙
f
˜
G
(s) )
c : cela résulte de la
définition du facteur de transfert. Posons
f
˜
G
(s) =
C (F )
( ˙
f
˜
G
(s) )
c λ (c)dc.
Cette fonction appartient à C
∞
c,λ
( ˜
G
(s)(F )). Alors
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc = S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ, B, f
˜
G
(s) ).
Si s = 1, on en déduit l’égalité
(12)
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc
=
C (F )
S
˜
G
(s)
˜
M
( ˙
δ
(s), B, ( ˙
f
c )
˜
G
(s) )λ (c)dc.
En effet, c’est l’égalité (6) où l’on remplace ˜
G par ˜
G
(s) et f par f
˜
G
(s) (puisque
s = 1, on peut appliquer (6) par hypothèse de récurrence).
La relation (6) résulte de (9), (12) et des définitions.
Remarquons que l’on peut définir I
˜
G
˜
M ,λ
(γ, B, f) pour γ ∈ D g´ eom,λ ( ˜
M (F ))
et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )), de même que l’on a défini S
˜
G
˜
M ,λ
(γ, B, f). La relation (9)
affirme que cette définition est loisible. On a aussi défini ci-dessus un transfert entre
C
∞
c,λ
( ˜
G (F )) et C
∞
c,λ
( ˜
G
(s; F )). Avec ces définitions, l’égalité (8) se généralise à
δ ∈ D g´ eom,λ ( ˜
M (F )) et f ∈ C
∞
c,λ
( ˜
G (F )). Considérons le cas particulier où λ est
le caractère trivial 1. Dans ce cas, on a des isomorphismes
C
∞
c,1 ( ˜
G (F )) C
∞
c ( ˜
G(F )), D g´ eom,1 ( ˜
M (F )) D g´ eom ( ˜
M (F ))