II.1. Intégrales orbitales pondérées
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et
D
st
g´ eom,1 ( ˜
M (F )) D
st
g´ eom ( ˜
M (F )).
Notons ici f → f et γ → γ ces isomorphismes. Alors :
(13) soient δ ∈ D
st
g´ eom,1 ( ˜
M (F )) et f ∈ C
∞
c,1 ( ˜
G (F )) ; on a l’égalité
S
˜
G
˜
M ,1
(δ , B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f).
Cette assertion se décompose en deux :
(14) pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , s = 1,
S
˜
G
(s)
˜
M ,1
(δ (s), B, (f )
˜
G
훀 (s) ) = S
˜
G
(s)
˜
M
(δ(s), B, f
˜
G
(s) );
(15) pour γ ∈ D g´ eom,1 ( ˜
M (F )),
I
˜
G
˜
M ,1
(γ , B, f ) = I
˜
G
˜
M
(γ, B, f).
On vérifie sur la définition ci-dessus du transfert que (f )
˜
G
(s) = (f
˜
G
(s) ) .
Donc (14) est la même assertion que (13) avec ˜
G remplacé par ˜
G
(s). On peut
l’admettre par récurrence. Pour (15), on peut supposer que γ est une intégrale
orbitale associée à un élément γ ∈ ˜
M (F ). La relation 1.9(5) nous ramène au
cas où le système de fonctions B a toutes ses valeurs égales à 1. Fixons ˙
γ ∈
˜
M (F ) se projetant sur γ. On vérifie que γ est l’image par l’homomorphisme
D g´ eom ( ˜
M (F )) → D g´ eom,1 ( ˜
M (F )) de l’intégrale orbitale associée à ˙
γ. Donc
I
˜
G
˜
M ,1
(γ , f ) = I
˜
G
˜
M
( ˙
γ , f ).
Chosissons ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) tel que
f (γ
) =
C (F )
˙
f
c
(γ
)dc
pour tout γ
∈ ˜
G (F ). Alors
I
˜
G
˜
M
( ˙
γ , f ) =
C (F )
I
˜
G
˜
M
( ˙
γ , ˙
f
c
)dc.
On fixe un sous-groupe compact spécial K de G(F ) en bonne position relativement
à M . Il lui correspond un tel sous-groupe K de G (F ) (par la bijection entre
facettes spéciales des immeubles de G et G ). On utilise ces sous-groupes pour
définir les intégrales pondérées suivantes. On montre d’abord que
(16)
C (F )
J
˜
G
˜
M
( ˙
γ , ˙
f
c
)dc = J
˜
G
˜
M
(γ, f ).