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Chapitre II. Enoncés des résultats
Si M γ = G γ , il suffit d’appliquer les définitions : pour x ∈ G (F ) se projetant sur
x ∈ G(F ), on a
C (F )
˙
f
c
(x
−1
˙
γ x )dc = f (x
−1 γx)
et v
˜
G
˜
M
(x ) = v
˜
G
˜
M
(x).
Pour γ quelconque, on vérifie que pour ˜
P ∈ P( ˜
M ), a ∈ A ˜
M
(F ) se projetant
en a ∈ A ˜
M (F ) et pour λ ∈ A
˜
G ,∗
˜
M ,C
A
˜
G,∗
˜
M,C
, on a r
˜
G
˜
P
( ˙
γ , a; λ) = r
˜
G
˜
P
(γ, a; λ).
L’égalité (16) se déduit alors pour γ par passage à la limite à partir du cas où
M γ = G γ . Il faut ensuite montrer que pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ) avec ˜
L = ˜
G, on a
(17)
C (F )
I
˜
L
˜
M
( ˙
γ , φ ˜
L
( ˙
f
c
))dc = I
˜
L
˜
M
(γ, φ ˜
L (f )).
On a besoin pour cela de propriétés des applications φ ˜
L et φ ˜
L
, qui sont essentiellement formelles. A savoir que φ ˜
L
( ˙
f
c
) = (φ ˜
L
( ˙
f ))
c comme on l’a déjà dit et que
φ ˜
L
( ˙
f ) et φ ˜
L (f ) sont reliées de la même façon que ˙
f et f (à ceci près qu’elles ne
sont pas à support compact mais appartiennent à des espaces C
∞
ac ; le passage à
ces espaces ne pose pas de problème). Alors l’égalité (17) n’est autre que (15) où
l’on change ˜
G en ˜
L et f en φ ˜
L (f ). On peut l’admettre par récurrence. L’assertion
(15) résulte de (16), (17) et des définitions. Cela achève la preuve de (13).
Il nous reste à prouver la relation (7). Considérons les extensions
1 → C × C → G ,, → G → 1 et ˜
G ,, → ˜
G
ainsi que le caractère λ × 1 de C (F ) × C (F ), où 1 est le caractère trivial
de C (F ). On a de nouveau des isomorphismes C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) C
∞
c,λ
( ˜
G ),
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) D g´ eom,λ ( ˜
M ). Notons f ,, ∈ C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) et δ ,, ∈
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) les éléments auxquels s’identifient f et δ . La relation (13)
se généralise en
(18)
S
˜
G ,,
˜
M ,, ,λ ×1
(δ ,, , B, f ,, ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ).
Pour le prouver, on choisit ˙
δ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) se projetant sur γ par l’homomorphisme (3) et ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) reliée à f par (4). Alors
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ) =
C (F )
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ , B, ˙
f )λ (c)dc.
On identifie ˙
f à un élément de C
∞
c,1
( ˜
G ,, (F )) et on choisit
˙
f ,, ∈ C
∞
c ( ˜
G ,, (F ))
tel que cet élément soit
C (F )
˙
f
c
,, dc
.
Chapitre II. Enoncés des résultats
Si M γ = G γ , il suffit d’appliquer les définitions : pour x ∈ G (F ) se projetant sur
x ∈ G(F ), on a
C (F )
˙
f
c
(x
−1
˙
γ x )dc = f (x
−1 γx)
et v
˜
G
˜
M
(x ) = v
˜
G
˜
M
(x).
Pour γ quelconque, on vérifie que pour ˜
P ∈ P( ˜
M ), a ∈ A ˜
M
(F ) se projetant
en a ∈ A ˜
M (F ) et pour λ ∈ A
˜
G ,∗
˜
M ,C
A
˜
G,∗
˜
M,C
, on a r
˜
G
˜
P
( ˙
γ , a; λ) = r
˜
G
˜
P
(γ, a; λ).
L’égalité (16) se déduit alors pour γ par passage à la limite à partir du cas où
M γ = G γ . Il faut ensuite montrer que pour tout ˜
L ∈ L( ˜
M ) avec ˜
L = ˜
G, on a
(17)
C (F )
I
˜
L
˜
M
( ˙
γ , φ ˜
L
( ˙
f
c
))dc = I
˜
L
˜
M
(γ, φ ˜
L (f )).
On a besoin pour cela de propriétés des applications φ ˜
L et φ ˜
L
, qui sont essentiellement formelles. A savoir que φ ˜
L
( ˙
f
c
) = (φ ˜
L
( ˙
f ))
c comme on l’a déjà dit et que
φ ˜
L
( ˙
f ) et φ ˜
L (f ) sont reliées de la même façon que ˙
f et f (à ceci près qu’elles ne
sont pas à support compact mais appartiennent à des espaces C
∞
ac ; le passage à
ces espaces ne pose pas de problème). Alors l’égalité (17) n’est autre que (15) où
l’on change ˜
G en ˜
L et f en φ ˜
L (f ). On peut l’admettre par récurrence. L’assertion
(15) résulte de (16), (17) et des définitions. Cela achève la preuve de (13).
Il nous reste à prouver la relation (7). Considérons les extensions
1 → C × C → G ,, → G → 1 et ˜
G ,, → ˜
G
ainsi que le caractère λ × 1 de C (F ) × C (F ), où 1 est le caractère trivial
de C (F ). On a de nouveau des isomorphismes C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) C
∞
c,λ
( ˜
G ),
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) D g´ eom,λ ( ˜
M ). Notons f ,, ∈ C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) et δ ,, ∈
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) les éléments auxquels s’identifient f et δ . La relation (13)
se généralise en
(18)
S
˜
G ,,
˜
M ,, ,λ ×1
(δ ,, , B, f ,, ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ).
Pour le prouver, on choisit ˙
δ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) se projetant sur γ par l’homomorphisme (3) et ˙
f ∈ C
∞
c ( ˜
G (F )) reliée à f par (4). Alors
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ) =
C (F )
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ , B, ˙
f )λ (c)dc.
On identifie ˙
f à un élément de C
∞
c,1
( ˜
G ,, (F )) et on choisit
˙
f ,, ∈ C
∞
c ( ˜
G ,, (F ))
tel que cet élément soit
C (F )
˙
f
c
,, dc
.