II.1. Intégrales orbitales pondérées
225
On identifie ˙
δ à un élément de D
st
g´ eom,1
( ˜
M ,, (F )) et on choisit
˙
δ ,, ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M ,, (F ))
se projetant sur cet élément. Pour c ∈ C (F ), (13) implique que
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ , B, ˙
f ) =
C (F )
S
˜
G ,,
˜
M ,,
( ˙
δ ,, , B, ˙
f
c
,, )dc
.
Donc
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ) =
C (F )×C (F )
S
˜
G ,,
˜
M ,,
( ˙
δ ,, , B, ˙
f
cc
,, )λ (c) dc
dc.
Mais ˙
δ ,, se projette sur δ ,, par (3) et ˙
f ,, est relié à f ,, par (4). Le membre de
droite ci-dessus est donc égal à S
˜
G
˜
M ,λ ×1
(δ , B, f ), ce qui prouve (18).
On effectue la même construction à partir de f et δ . On obtient des éléments
disons f ,, ∈ C
∞
c,1 ×λ
( ˜
G ,, (F )) et δ ,, ∈ D
st
g´ eom,1 ×λ
( ˜
M ,, (F )) et l’égalité
(19)
S
˜
G ,,
˜
M ,, ,1 ×λ
(δ ,, , B, f ,, ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ).
La multiplication par ˜
λ ,, définit un isomorphisme de C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) sur
C
∞
c,1 ×λ
( ˜
G ,, (F )). Par restriction puis dualité, on obtient un isomorphisme de
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) sur D
st
g´ eom,1 ×λ
( ˜
M ,, (F )). Les éléments f ,, et f ,, , resp.
δ ,, et δ ,, , se correspondent par ces isomorphismes. En écrivant les définitions
des membres de gauche de (18) et (19), on est ramené au problème suivant, où
les extensions ont disparu. On considère un caractère λ de G(F ) et une fonction
non nulle ˜
λ sur ˜
G(F ) se transformant selon λ. On considère δ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) et
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). On veut prouver
(20)
S
˜
G
˜
M
( ˜
λδ, B, ˜
λf ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f),
où δ → ˜
λδ est l’analogue de l’isomorphisme ci-dessus. Cette assertion se décompose en deux :
(21)
I
˜
G
˜
M
( ˜
λδ, B, ˜
λf ) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f);
(22) pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , s = 1,
S
˜
G
(s)
˜
M
(( ˜
λδ)(s), B, ( ˜
λf )
˜
G
(s) ) = S
˜
G
(s)
˜
M
(δ(s), B, f
˜
G
(s) ).
Pour (21), on se ramène encore une fois au cas où le système de fonctions
B a toutes ses valeurs égales à 1. Dans ce cas, l’assertion similaire pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes est immédiate. On doit encore utiliser
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On identifie ˙
δ à un élément de D
st
g´ eom,1
( ˜
M ,, (F )) et on choisit
˙
δ ,, ∈ D
st
g´ eom ( ˜
M ,, (F ))
se projetant sur cet élément. Pour c ∈ C (F ), (13) implique que
S
˜
G
˜
M
( ˙
δ , B, ˙
f ) =
C (F )
S
˜
G ,,
˜
M ,,
( ˙
δ ,, , B, ˙
f
c
,, )dc
.
Donc
S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ) =
C (F )×C (F )
S
˜
G ,,
˜
M ,,
( ˙
δ ,, , B, ˙
f
cc
,, )λ (c) dc
dc.
Mais ˙
δ ,, se projette sur δ ,, par (3) et ˙
f ,, est relié à f ,, par (4). Le membre de
droite ci-dessus est donc égal à S
˜
G
˜
M ,λ ×1
(δ , B, f ), ce qui prouve (18).
On effectue la même construction à partir de f et δ . On obtient des éléments
disons f ,, ∈ C
∞
c,1 ×λ
( ˜
G ,, (F )) et δ ,, ∈ D
st
g´ eom,1 ×λ
( ˜
M ,, (F )) et l’égalité
(19)
S
˜
G ,,
˜
M ,, ,1 ×λ
(δ ,, , B, f ,, ) = S
˜
G
˜
M ,λ
(δ , B, f ).
La multiplication par ˜
λ ,, définit un isomorphisme de C
∞
c,λ ×1
( ˜
G ,, (F )) sur
C
∞
c,1 ×λ
( ˜
G ,, (F )). Par restriction puis dualité, on obtient un isomorphisme de
D
st
g´ eom,λ ×1
( ˜
M ,, (F )) sur D
st
g´ eom,1 ×λ
( ˜
M ,, (F )). Les éléments f ,, et f ,, , resp.
δ ,, et δ ,, , se correspondent par ces isomorphismes. En écrivant les définitions
des membres de gauche de (18) et (19), on est ramené au problème suivant, où
les extensions ont disparu. On considère un caractère λ de G(F ) et une fonction
non nulle ˜
λ sur ˜
G(F ) se transformant selon λ. On considère δ ∈ D g´ eom ( ˜
M (F )) et
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )). On veut prouver
(20)
S
˜
G
˜
M
( ˜
λδ, B, ˜
λf ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f),
où δ → ˜
λδ est l’analogue de l’isomorphisme ci-dessus. Cette assertion se décompose en deux :
(21)
I
˜
G
˜
M
( ˜
λδ, B, ˜
λf ) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f);
(22) pour s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , s = 1,
S
˜
G
(s)
˜
M
(( ˜
λδ)(s), B, ( ˜
λf )
˜
G
(s) ) = S
˜
G
(s)
˜
M
(δ(s), B, f
˜
G
(s) ).
Pour (21), on se ramène encore une fois au cas où le système de fonctions
B a toutes ses valeurs égales à 1. Dans ce cas, l’assertion similaire pour les intégrales orbitales pondérées non invariantes est immédiate. On doit encore utiliser