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Chapitre II. Enoncés des résultats
une propriété formelle des applications φ ˜
L , à savoir que φ ˜
L ( ˜
λf ) = ˜
λφ ˜
L (f ). Pour
(22), on utilise l’homomorphisme G
(s) ab (F ) → G ab (F ) et l’application compatible ˜
G
(s) ab (F ) → ˜
G ab (F ). Grâce à ces applications, λ se restreint en un caractère de G
(s)(F ) et ˜
λ se restreint en une fonction sur ˜
G
(s)(F ). On vérifie que
( ˜
λf )
˜
G
(s) = ˜
λ(f
˜
G
(s) ) et, dualement, que ( ˜
λδ)(s) = ˜
λδ(s). Alors (22) n’est autre
que (20) où l’on a remplacé ˜
G par ˜
G
(s) et f par f
˜
G
(s) . Par récurrence, on peut
admettre (22). Cela achève la preuve de (20) et la vérification des propriétés formelles.
Dans le cas où le système de fonctions B a toutes ses valeurs égales à 1, on
note simplement S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Pour B quelconque, on a
(23) supposons que le support de δ soit formé d’éléments de ˜
M (F ) qui sont ˜
Géquisinguliers ; alors on a l’égalité S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f ).
En effet, on a encore M γ = G
(s) γ pour tout élément γ du support et pour
tout s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF . En raisonnant par récurrence, l’assertion résulte de la relation
I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ), laquelle résulte des définitions.
II.1.11 Définition d’un système de fonctions B
˜
G
On revient au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On peut fixer une paire de Borel épinglée ˆ
E =
( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈ ˆ
Δ ) de ˆ
G de sorte que ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T . Introduisons «les» paires
de Borel épinglées E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) et E
= (B
, T
, (E
α ) α∈Δ ) de G et G
. Le
choix de ˆ
E permet d’identifier T
à T /(1 − θ)(T ), cf. [I] 1.5. On fixe e ∈ Z( ˜
G) et on
note e
son image dans Z( ˜
G
). Soit ∈ ˜
G
ss (F ). On peut identifier (B
, T
) à une
paire de Borel conservée par ad . Alors s’écrit μe
, avec μ ∈ T
et on relève μ en
un élément ν ∈ T . On utilise les notations de [I] 1.6. En particulier, on note Σ(T )
l’ensemble des racines de T dans G et Σ
G
(T
) celui des racines de T
dans G
.
D’après [79] 3.3, l’ensemble Σ
G
(T
) est alors la réunion des ensembles suivants
(a) les N α, pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(b) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1
(c) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(d) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1.
On définit une fonction B
˜
G
sur cet ensemble de la façon suivante. Dans le
cas (a), B
˜
G
(N α) = n α (rappelons que n α est le plus petit entier n ≥ 1 tel que
θ
n (α) = α). Dans le cas (b), B
˜
G
(2N α) = 2n α . Dans le cas (c), B
˜
G
(2N α) = n α .
Dans le cas (d), B
˜
G
(N α) = 2n α .
Lemme. La fonction B
˜
G
ne dépend pas des choix faits dans sa construction. Elle
vérifie les conditions de 1.8.
Chapitre II. Enoncés des résultats
une propriété formelle des applications φ ˜
L , à savoir que φ ˜
L ( ˜
λf ) = ˜
λφ ˜
L (f ). Pour
(22), on utilise l’homomorphisme G
(s) ab (F ) → G ab (F ) et l’application compatible ˜
G
(s) ab (F ) → ˜
G ab (F ). Grâce à ces applications, λ se restreint en un caractère de G
(s)(F ) et ˜
λ se restreint en une fonction sur ˜
G
(s)(F ). On vérifie que
( ˜
λf )
˜
G
(s) = ˜
λ(f
˜
G
(s) ) et, dualement, que ( ˜
λδ)(s) = ˜
λδ(s). Alors (22) n’est autre
que (20) où l’on a remplacé ˜
G par ˜
G
(s) et f par f
˜
G
(s) . Par récurrence, on peut
admettre (22). Cela achève la preuve de (20) et la vérification des propriétés formelles.
Dans le cas où le système de fonctions B a toutes ses valeurs égales à 1, on
note simplement S
˜
G
˜
M
(δ, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Pour B quelconque, on a
(23) supposons que le support de δ soit formé d’éléments de ˜
M (F ) qui sont ˜
Géquisinguliers ; alors on a l’égalité S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = S
˜
G
˜
M
(δ, f ).
En effet, on a encore M γ = G
(s) γ pour tout élément γ du support et pour
tout s ∈ Z( ˆ
M )
ΓF . En raisonnant par récurrence, l’assertion résulte de la relation
I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ), laquelle résulte des définitions.
II.1.11 Définition d’un système de fonctions B
˜
G
On revient au cas où (G, ˜
G, a) est quelconque. Soit G
= (G
, G
, ˜
s) une donnée endoscopique de (G, ˜
G, a). On peut fixer une paire de Borel épinglée ˆ
E =
( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈ ˆ
Δ ) de ˆ
G de sorte que ˜
s = s ˆ
θ avec s ∈ ˆ
T . Introduisons «les» paires
de Borel épinglées E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) et E
= (B
, T
, (E
α ) α∈Δ ) de G et G
. Le
choix de ˆ
E permet d’identifier T
à T /(1 − θ)(T ), cf. [I] 1.5. On fixe e ∈ Z( ˜
G) et on
note e
son image dans Z( ˜
G
). Soit ∈ ˜
G
ss (F ). On peut identifier (B
, T
) à une
paire de Borel conservée par ad . Alors s’écrit μe
, avec μ ∈ T
et on relève μ en
un élément ν ∈ T . On utilise les notations de [I] 1.6. En particulier, on note Σ(T )
l’ensemble des racines de T dans G et Σ
G
(T
) celui des racines de T
dans G
.
D’après [79] 3.3, l’ensemble Σ
G
(T
) est alors la réunion des ensembles suivants
(a) les N α, pour α ∈ Σ(T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(b) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1
(c) les 2N α pour α ∈ Σ(T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(d) les N α pour α ∈ Σ(T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1.
On définit une fonction B
˜
G
sur cet ensemble de la façon suivante. Dans le
cas (a), B
˜
G
(N α) = n α (rappelons que n α est le plus petit entier n ≥ 1 tel que
θ
n (α) = α). Dans le cas (b), B
˜
G
(2N α) = 2n α . Dans le cas (c), B
˜
G
(2N α) = n α .
Dans le cas (d), B
˜
G
(N α) = 2n α .
Lemme. La fonction B
˜
G
ne dépend pas des choix faits dans sa construction. Elle
vérifie les conditions de 1.8.