II.1. Intégrales orbitales pondérées
227
Preuve. La fonction B
˜
G
vérifie B
˜
G
(−β) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
). Introduisons les groupes de Weyl W
G
de G
et W
G
de G
tous deux relatifs à T
et
le groupe de Weyl W de G relatif à T . On a
(1) W
G
⊂ {w ∈ W
G
; w(μ) = μ}.
En effet, puisque e
commute à tout élément de G
, un élément x ∈ G
vérifie
ad x () = si et seulement s’il vérifie ad x (μ) = μ.
(2) W
G
s’identifie à un sous-groupe de l’ensemble des w ∈ W
θ qui fixent l’image
de s dans ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Le groupe W
G
s’identifie au groupe de Weyl de ˆ
G
relatif à ˆ
T
ˆ
θ,0 . Un élément
x ∈ ˆ
G
qui normalise ce tore normalise aussi ˆ
T . Il vérifie en outre s ˆ
θ(x)s
−1 = x.
Cela entraîne que son image w dans W est fixe par ˆ
θ. On peut alors l’écrire
x = tn, où t ∈ ˆ
T et n est fixe par ˆ
θ. Alors on a l’égalité nsn
−1 = t
−1 s ˆ
θ(t), d’où
w(s) ∈ s(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Il résulte de (1) et (2) que l’action sur T
d’un élément de W
G
coïncide
avec celle d’un élément de W
θ qui conserve l’image de ν dans T /(1 − θ)(T ) et
celle de s dans ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). L’action d’un tel élément ne change ni le type d’une
racine α ∈ Σ(T ), ni le nombre n α , ni les valeurs N α(ν) et N ˆ
α(s). D’où l’égalité
B
˜
G
(wβ) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
) et tout w ∈ W
G
.
On complète la paire de Borel (B
∩ G
, T
) de G
en une paire de Borel
épinglée E
. On introduit les actions galoisiennes quasi-déployées σ → σ G
∗
, resp.
σ → σ G
∗ , σ → σ G ∗ , de Γ F sur G
, resp. G
, G, relatives aux paires de Borel
épinglées E
, resp. E
, E. En notant σ → σ G et σ → σ G les actions naturelles sur
G
et G, ou ˜
G
et ˜
G, on a des égalités σ G
∗
= ad u 훀 (σ) ◦σ G , σ G
∗ = ad u (σ) ◦σ G et
σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u
(σ) ∈ G
, u
(σ) ∈ G
et u(σ) ∈ G. On introduit le cocycle
z : Γ F → Z(G) tel que ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e pour tout σ ∈ Γ F . On a
(3) σ G
∗
(μ) = z(σ)μ pour tout σ ∈ Γ F .
Comme on l’a dit dans la preuve de (1), u
(σ) commute à μ puisqu’il commute
à . Donc σ G
∗
(μ) = σ G (μ). Par définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G
), on
a σ G (e
) = z(σ)
−1 e
. Puisque ∈ G
(F ), on a σ G () = , c’est-à-dire σ G (μe
) =
μe
. D’où σ G (μ) = z(σ)μ.
On a
(4) pour tout σ ∈ Γ F , il existe w
(σ) ∈ W
G
tel que l’on ait l’égalité σ G
∗
=
w
(σ) ◦ σ G
∗ sur T
.
En effet, σ G
∗
= ad u (σ)u (σ) −1 ◦σ G
∗ . Puisque ces deux actions conservent T
,
l’élément u
(σ)u
(σ)
−1 normalise ce tore et définit l’élément w
(σ) cherché.
Pour simplifier, on conserve la notation σ → σ G ∗ pour l’action galoisienne
sur ˆ
G. On a
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Preuve. La fonction B
˜
G
vérifie B
˜
G
(−β) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
). Introduisons les groupes de Weyl W
G
de G
et W
G
de G
tous deux relatifs à T
et
le groupe de Weyl W de G relatif à T . On a
(1) W
G
⊂ {w ∈ W
G
; w(μ) = μ}.
En effet, puisque e
commute à tout élément de G
, un élément x ∈ G
vérifie
ad x () = si et seulement s’il vérifie ad x (μ) = μ.
(2) W
G
s’identifie à un sous-groupe de l’ensemble des w ∈ W
θ qui fixent l’image
de s dans ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Le groupe W
G
s’identifie au groupe de Weyl de ˆ
G
relatif à ˆ
T
ˆ
θ,0 . Un élément
x ∈ ˆ
G
qui normalise ce tore normalise aussi ˆ
T . Il vérifie en outre s ˆ
θ(x)s
−1 = x.
Cela entraîne que son image w dans W est fixe par ˆ
θ. On peut alors l’écrire
x = tn, où t ∈ ˆ
T et n est fixe par ˆ
θ. Alors on a l’égalité nsn
−1 = t
−1 s ˆ
θ(t), d’où
w(s) ∈ s(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Il résulte de (1) et (2) que l’action sur T
d’un élément de W
G
coïncide
avec celle d’un élément de W
θ qui conserve l’image de ν dans T /(1 − θ)(T ) et
celle de s dans ˆ
T /(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). L’action d’un tel élément ne change ni le type d’une
racine α ∈ Σ(T ), ni le nombre n α , ni les valeurs N α(ν) et N ˆ
α(s). D’où l’égalité
B
˜
G
(wβ) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
) et tout w ∈ W
G
.
On complète la paire de Borel (B
∩ G
, T
) de G
en une paire de Borel
épinglée E
. On introduit les actions galoisiennes quasi-déployées σ → σ G
∗
, resp.
σ → σ G
∗ , σ → σ G ∗ , de Γ F sur G
, resp. G
, G, relatives aux paires de Borel
épinglées E
, resp. E
, E. En notant σ → σ G et σ → σ G les actions naturelles sur
G
et G, ou ˜
G
et ˜
G, on a des égalités σ G
∗
= ad u 훀 (σ) ◦σ G , σ G
∗ = ad u (σ) ◦σ G et
σ G ∗ = ad u(σ) ◦σ G , où u
(σ) ∈ G
, u
(σ) ∈ G
et u(σ) ∈ G. On introduit le cocycle
z : Γ F → Z(G) tel que ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e pour tout σ ∈ Γ F . On a
(3) σ G
∗
(μ) = z(σ)μ pour tout σ ∈ Γ F .
Comme on l’a dit dans la preuve de (1), u
(σ) commute à μ puisqu’il commute
à . Donc σ G
∗
(μ) = σ G (μ). Par définition de l’action galoisienne sur Z( ˜
G
), on
a σ G (e
) = z(σ)
−1 e
. Puisque ∈ G
(F ), on a σ G () = , c’est-à-dire σ G (μe
) =
μe
. D’où σ G (μ) = z(σ)μ.
On a
(4) pour tout σ ∈ Γ F , il existe w
(σ) ∈ W
G
tel que l’on ait l’égalité σ G
∗
=
w
(σ) ◦ σ G
∗ sur T
.
En effet, σ G
∗
= ad u (σ)u (σ) −1 ◦σ G
∗ . Puisque ces deux actions conservent T
,
l’élément u
(σ)u
(σ)
−1 normalise ce tore et définit l’élément w
(σ) cherché.
Pour simplifier, on conserve la notation σ → σ G ∗ pour l’action galoisienne
sur ˆ
G. On a