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Chapitre II. Enoncés des résultats
(5) pour tout σ ∈ Γ F , il existe w(σ) ∈ W
θ tel que l’on ait l’égalité σ G
∗ = w(σ) ◦
σ G ∗ et que, sur ˆ
T , w(σ) ◦ σ G ∗ conserve l’image de s dans ˆ
T /Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Pour σ ∈ Γ F , on relève σ en u ∈ W F et on choisit g u = (g(u), u) ∈ G
tel
que ad gu coïncide avec u G
∗ sur ˆ
G
. L’élément g(u) normalise ˆ
T
ˆ
θ,0 donc aussi ˆ
T .
On a s ˆ
θ(g(u))σ G ∗ (s)
−1 = a(u)g(u). Cela entraîne que l’image w(σ) de g(u) dans
W est fixe par ˆ
θ. On peut écrire g(u) = tn avec t ∈ ˆ
T et n fixe par ˆ
θ. Alors
nσ G ∗ (s)n
−1 = a(u)
−1 t
−1 s ˆ
θ(t), d’où w(σ) ◦ σ G ∗ (s) ∈ sZ( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). L’assertion
(5) en résulte.
Il résulte de (4) et (5) que, pour σ ∈ Γ F , σ G
∗
coïncide sur T
avec
w
(σ)w(σ)σ G ∗ . Il résulte de (2), (3) et (5) que cette action conserve l’image de
ν dans T /Z(G)(1 − θ)(T ) et l’image de s dans ˆ
T /Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Une telle action
ne change ni le type d’une racine α ∈ Σ(T ), ni le nombre n α , ni les valeurs N α(ν)
et N ˆ
α(s). D’où l’égalité B
˜
G
(σ G
∗
(β)) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
) et tout
σ ∈ Γ F .
On a ainsi vérifié la première condition de 1.8. Vérifions la seconde. Posons
Σ 1 = Σ
G
(T
) et notons ˇ
Σ 1 l’ensemble associé de coracines. On considère Σ 1 , resp.
ˇ
Σ 1 , comme un sous-ensemble de X
∗ (T
,SC ) ⊗ R, resp. X ∗ (T
,SC ) ⊗ R, où T
,sc est
l’image réciproque de T
dans G
,SC . Posons b = B
˜
G
,
Σ 2 = {α/b(α); α ∈ Σ 1 },
ˇ
Σ 2 = {b(α)ˇ α; α ∈ Σ 1 },
où ˇ
α est la coracine associée à α. On a
(6) Σ 2 est un système de racines dont ˇ
Σ 2 est l’ensemble associé de coracines.
En effet, posons η = νe ∈ ˜
G. Si on oublie les actions galoisiennes qui ne
comptent pas pour ce que l’on veut prouver, on a construit en [79] 3.5 un groupe ¯
H
qui est un groupe endoscopique de G η,SC et tel que G
,SC et ¯
H SC sont en situation
d’endoscopie non standard (cf. [79] 1.7). Alors Σ 2 est l’ensemble de racines de ce
groupe ¯
H et ˇ
Σ 2 est l’ensemble de coracines associé ([79] 3.3(2)).
Remarque. La fonction B
˜
G
a évidemment été définie pour que (6) soit vérifiée.
Il est facile de classifier les triplets (Σ 1 , Σ 2 , b) vérifiant la condition (6), cf.
[79] 1.7. Il sont produits de triplets analogues tels que Σ 1 et Σ 2 sont irréductibles.
Dans le cas irréductible, à homothétie près (c’est-à-dire quitte à multiplier b par
un rationnel strictement positif), les possibilités sont les suivantes :
– Σ 1 et Σ 2 sont de même type et b est constante ;
– Σ 1 est de type B n , C n , F 4 ou G 2 , Σ 2 est respectivement de type C n , B n , F 4
ou G 2 et b est le carré de la fonction longueur.
Cela vérifie exactement la seconde condition de 1.8.
Chapitre II. Enoncés des résultats
(5) pour tout σ ∈ Γ F , il existe w(σ) ∈ W
θ tel que l’on ait l’égalité σ G
∗ = w(σ) ◦
σ G ∗ et que, sur ˆ
T , w(σ) ◦ σ G ∗ conserve l’image de s dans ˆ
T /Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ).
Pour σ ∈ Γ F , on relève σ en u ∈ W F et on choisit g u = (g(u), u) ∈ G
tel
que ad gu coïncide avec u G
∗ sur ˆ
G
. L’élément g(u) normalise ˆ
T
ˆ
θ,0 donc aussi ˆ
T .
On a s ˆ
θ(g(u))σ G ∗ (s)
−1 = a(u)g(u). Cela entraîne que l’image w(σ) de g(u) dans
W est fixe par ˆ
θ. On peut écrire g(u) = tn avec t ∈ ˆ
T et n fixe par ˆ
θ. Alors
nσ G ∗ (s)n
−1 = a(u)
−1 t
−1 s ˆ
θ(t), d’où w(σ) ◦ σ G ∗ (s) ∈ sZ( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). L’assertion
(5) en résulte.
Il résulte de (4) et (5) que, pour σ ∈ Γ F , σ G
∗
coïncide sur T
avec
w
(σ)w(σ)σ G ∗ . Il résulte de (2), (3) et (5) que cette action conserve l’image de
ν dans T /Z(G)(1 − θ)(T ) et l’image de s dans ˆ
T /Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). Une telle action
ne change ni le type d’une racine α ∈ Σ(T ), ni le nombre n α , ni les valeurs N α(ν)
et N ˆ
α(s). D’où l’égalité B
˜
G
(σ G
∗
(β)) = B
˜
G
(β) pour tout β ∈ Σ
G
(T
) et tout
σ ∈ Γ F .
On a ainsi vérifié la première condition de 1.8. Vérifions la seconde. Posons
Σ 1 = Σ
G
(T
) et notons ˇ
Σ 1 l’ensemble associé de coracines. On considère Σ 1 , resp.
ˇ
Σ 1 , comme un sous-ensemble de X
∗ (T
,SC ) ⊗ R, resp. X ∗ (T
,SC ) ⊗ R, où T
,sc est
l’image réciproque de T
dans G
,SC . Posons b = B
˜
G
,
Σ 2 = {α/b(α); α ∈ Σ 1 },
ˇ
Σ 2 = {b(α)ˇ α; α ∈ Σ 1 },
où ˇ
α est la coracine associée à α. On a
(6) Σ 2 est un système de racines dont ˇ
Σ 2 est l’ensemble associé de coracines.
En effet, posons η = νe ∈ ˜
G. Si on oublie les actions galoisiennes qui ne
comptent pas pour ce que l’on veut prouver, on a construit en [79] 3.5 un groupe ¯
H
qui est un groupe endoscopique de G η,SC et tel que G
,SC et ¯
H SC sont en situation
d’endoscopie non standard (cf. [79] 1.7). Alors Σ 2 est l’ensemble de racines de ce
groupe ¯
H et ˇ
Σ 2 est l’ensemble de coracines associé ([79] 3.3(2)).
Remarque. La fonction B
˜
G
a évidemment été définie pour que (6) soit vérifiée.
Il est facile de classifier les triplets (Σ 1 , Σ 2 , b) vérifiant la condition (6), cf.
[79] 1.7. Il sont produits de triplets analogues tels que Σ 1 et Σ 2 sont irréductibles.
Dans le cas irréductible, à homothétie près (c’est-à-dire quitte à multiplier b par
un rationnel strictement positif), les possibilités sont les suivantes :
– Σ 1 et Σ 2 sont de même type et b est constante ;
– Σ 1 est de type B n , C n , F 4 ou G 2 , Σ 2 est respectivement de type C n , B n , F 4
ou G 2 et b est le carré de la fonction longueur.
Cela vérifie exactement la seconde condition de 1.8.