II.1. Intégrales orbitales pondérées
229
On doit montrer que la définition ne dépend pas des choix. On peut voir
que changer de choix revient à composer l’identification de T
à T /(1 − θ)(T ) avec
l’action d’un élément w de W
θ , remplacer ν par un élément de w(ν)Z(G)(1−θ)(T )
et s par un élément de w(s)Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). On laisse la vérification fastidieuse de
ce fait au lecteur. Il est clair qu’une telle modification laisse B
˜
G
inchangée.
Pour tout ∈ ˜
G
ss (F ), on vient de définir une fonction B
˜
G
sur l’ensemble de
racines de G
. Il résulte de la définition que ces fonctions vérifient la condition (2)
de 1.9. Elles se regroupent donc en un système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(F ) au sens
de ce paragraphe.
Soit G
0 = (G
0 , G
0 , ˜
s 0 ) une donnée endoscopique équivalente à G
. Il y a
alors un isomorphisme ˜
α : ˜
G
→ ˜
G
0 défini sur F , unique modulo composition
avec un automorphisme intérieur (cf. [I] 1.5). Les définitions entraînent que cet
isomorphisme est compatible aux systèmes de fonctions B
˜
G définis sur ˜
G
(F ) et
˜
G
0 (F ).
II.1.12 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quelconque. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜
M . Comme en
[I] 3.2, on réalise
L M comme espace de Levi standard de
L G et on impose que le
cocycle a M associé à cette donnée prend ses valeurs dans Z( ˆ
G) et que sa classe dans
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) est a. Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On construit la donnée endoscopique
G
(˜ s) = (G
(˜ s), G
(˜ s), ˜
s), cf. [I] 3.3. On introduit le système de fonctions B
˜
G sur
˜
G
(s)(F ).
Pour δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on
pose
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Expliquons cette formule. Le coefficient i M (G, G
(˜ s)) généralise celui du paragraphe 1.10. Il est nul si G
(˜ s) n’est pas elliptique. Si G
(˜ s) est elliptique, on
pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
= [Z( ˆ
M
)
ΓF : (Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M ))][Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF : (Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
G))]
−1 .
Pour définir les termes du membre de droite, on a besoin de choisir des mesures sur
des espaces analogues à A
˜
G
˜
M
, cf. 1.1. Pour cela, on a fixé une forme quadratique sur
X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. On remarque que pour chaque groupe G
(˜ s) intervenant ci-dessus, un
tore maximal T
(˜ s) de ce groupe s’identifie sur ¯
F à T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Il s’en déduit
un isomorphisme X ∗ (T
(˜ s)) ⊗ R (X ∗ (T
∗ ) ⊗ R)
θ
∗ On choisit pour forme quadratique sur le premier espace la restriction au second de la forme que l’on a fixée. Si
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On doit montrer que la définition ne dépend pas des choix. On peut voir
que changer de choix revient à composer l’identification de T
à T /(1 − θ)(T ) avec
l’action d’un élément w de W
θ , remplacer ν par un élément de w(ν)Z(G)(1−θ)(T )
et s par un élément de w(s)Z( ˆ
G)(1 − ˆ
θ)( ˆ
T ). On laisse la vérification fastidieuse de
ce fait au lecteur. Il est clair qu’une telle modification laisse B
˜
G
inchangée.
Pour tout ∈ ˜
G
ss (F ), on vient de définir une fonction B
˜
G
sur l’ensemble de
racines de G
. Il résulte de la définition que ces fonctions vérifient la condition (2)
de 1.9. Elles se regroupent donc en un système de fonctions B
˜
G sur ˜
G
(F ) au sens
de ce paragraphe.
Soit G
0 = (G
0 , G
0 , ˜
s 0 ) une donnée endoscopique équivalente à G
. Il y a
alors un isomorphisme ˜
α : ˜
G
→ ˜
G
0 défini sur F , unique modulo composition
avec un automorphisme intérieur (cf. [I] 1.5). Les définitions entraînent que cet
isomorphisme est compatible aux systèmes de fonctions B
˜
G définis sur ˜
G
(F ) et
˜
G
0 (F ).
II.1.12 Intégrales orbitales pondérées ω-équivariantes et endoscopie
Soit (G, ˜
G, a) un triplet quelconque. Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et M
=
(M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de ˜
M . Comme en
[I] 3.2, on réalise
L M comme espace de Levi standard de
L G et on impose que le
cocycle a M associé à cette donnée prend ses valeurs dans Z( ˆ
G) et que sa classe dans
H
1 (W F ; Z( ˆ
G)) est a. Soit ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ . On construit la donnée endoscopique
G
(˜ s) = (G
(˜ s), G
(˜ s), ˜
s), cf. [I] 3.3. On introduit le système de fonctions B
˜
G sur
˜
G
(s)(F ).
Pour δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on
pose
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Expliquons cette formule. Le coefficient i M (G, G
(˜ s)) généralise celui du paragraphe 1.10. Il est nul si G
(˜ s) n’est pas elliptique. Si G
(˜ s) est elliptique, on
pose
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
= [Z( ˆ
M
)
ΓF : (Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
M ))][Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF : (Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
∩ Z( ˆ
G))]
−1 .
Pour définir les termes du membre de droite, on a besoin de choisir des mesures sur
des espaces analogues à A
˜
G
˜
M
, cf. 1.1. Pour cela, on a fixé une forme quadratique sur
X ∗ (T
∗ ) ⊗ R. On remarque que pour chaque groupe G
(˜ s) intervenant ci-dessus, un
tore maximal T
(˜ s) de ce groupe s’identifie sur ¯
F à T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ). Il s’en déduit
un isomorphisme X ∗ (T
(˜ s)) ⊗ R (X ∗ (T
∗ ) ⊗ R)
θ
∗ On choisit pour forme quadratique sur le premier espace la restriction au second de la forme que l’on a fixée. Si