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Chapitre II. Enoncés des résultats
(G, ˜
G, a) n’est pas quasi-déployé et à torsion intérieure ou si (G, ˜
G, a) est quasidéployé et à torsion intérieure et M
= M, tous les termes S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) )
sont bien définis grâce aux hypothèses de récurrence posées en 1.1. Si (G, ˜
G, a)
est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M, un seul terme ne l’est
pas, à savoir le terme S
G
M (δ, B
˜
G , f
G ) associé à ˜
s = ˜
ζ = 1. On le remplace dans
ce cas par S
˜
G
˜
M
(δ, B
˜
G , f ) qui est bien défini. On a dans ce cas la simple égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M, δ, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, f ).
L’application f → I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) se factorise en une application définie sur
I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
Remarque. Conformément à [I] 3.3(2), en supposant ˆ
M standard, on pourrait
aussi sommer sur
˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF )),
(ou plus canoniquement sur ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF à conjugaison près par Z( ˆ
M )
ΓF )
à condition de multiplier les coefficients par | det((1 − θ
˜
M ) AM /(A ˜
M +AG )|.
Donnons une autre définition du coefficient i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)). On suppose G
(˜ s)
elliptique. Parce que
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
et
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
⊂ Z( ˆ
M )
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
⊂ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ ,
on voit que l’homomorphisme naturel
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )/(Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) → Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
est un isomorphisme. D’autre part, on a un homomorphisme naturel
(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 )/(Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 ) → Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
On peut donc l’interpréter comme un homomorphisme
(1)
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
Le groupe d’arrivée n’est autre que Z( ˆ
M
ad )
ΓF , où ˆ
M
ad est l’image de ˆ
M
dans
ˆ
G
(˜ s) AD . Donc ce groupe est connexe et l’homomorphisme (1) est surjectif. On a
(2) i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de (1).