II.1. Intégrales orbitales pondérées
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Preuve. On a un diagramme commutatif
1
↓
1
1
A
↓
↓
↓
1 → Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0
→ Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ 1
↓
↓
↓
1 → Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→
Z( ˆ
M
)
ΓF
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ 1 .
↓
↓
↓
B
C
1
↓
↓
1
1
Les groupes A, B, C sont définis de sorte que les colonnes soient exactes. Par un
raisonnement d’algèbre élémentaire, on en déduit une suite exacte
1 → A → B → C → 1
On a Z( ˆ
M )
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 = Z( ˆ
M ) ∩ Z( ˆ
M
)
ΓF et Z( ˆ
G)
ΓF
∩ ˆ
T
ˆ
θ,0 = Z( ˆ
G) ∩ Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF .
Donc
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)) = |B|
−1
|C| = |A|
−1 .
Mais A est le noyau de (1).
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure (auquel cas on
note simplement ζ = ˜
ζ). Fixons un système de fonctions B comme en 1.9. Comme
en 1.10, pour tout s ∈ ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , ce système de fonctions en détermine
un sur ˜
G
(s)(F ), que l’on note encore B. Pour δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et
f ∈ C
∞
c ( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, B, f ) =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ F /Z( ˆ
G) Γ F
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ).
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8.
Comme dans la variante précédente, pour tout s ∈ ζZ( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF , cette fonction se restreint en une fonction pour G
(s)(F ), a fortiori comme un système
de fonctions comme en 1.9 (pour tout ∈ G
(s) ss (F ), B est la restriction de
B au système de racines de G
(s) ). Pour δ ∈ D
st
unip (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ et
f ∈ C
∞
c (G(F )) ⊗ Mes(G(F )), on pose
I
G,E
M (M
, δ, B, f ) =
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ F /Z( ˆ
G)
Γ F
i M (G, G
(s))S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ).