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Chapitre II. Enoncés des résultats
II.1.13 Action d’un groupe d’automorphismes
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent. On a introduit
en [I] 3.2 le groupe d’automorphismes Aut( ˜
M , M
). Il agit sur D
st
g´ eom (M
) ou
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On note cette action (x, δ) → x(δ).
Lemme. Soient x ∈ Aut( ˜
M , M
) et δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Pour tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, x(δ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
Preuve. On réalise
L M comme espace de Levi standard de
L G. D’après la définition de [I] 3.2, x est un élément de ˆ
G tel que ad x ( ˆ
M ) = ˆ
M , ad x (M
) = M
et
ad x ( ˜
ζ) ∈ Z( ˆ
M ) ˜
ζ. Montrons que
(1) ad x ( ˜
ζ) ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ˜
ζ.
Rappelons que ˜
ζm
= a(w)m
w( ˜
ζ) pour tout (m
, w) ∈ M
, où a est à valeurs
dans Z( ˆ
G). Ecrivons ad x ( ˜
ζ) = z ˜
ζ, avec z ∈ Z( ˆ
M ). Pour (m
, w) ∈ M
, posons
m
= x
−1 m
w(x). Alors (m
, w) ∈ M
, donc ˜
ζm
= a(w)m
w( ˜
ζ), c’est-à-dire
˜
ζx
−1 m
w(x) = a(w)x
−1 m
w(x)w( ˜
ζ ).
Cela équivaut à ad x ( ˜
ζ)m
=a(w)m
w(ad x ( ˜
ζ)), ou encore à z ˜
ζm
=a(w)m
w(z)w( ˜
ζ).
En comparant avec la première égalité de la preuve, on obtient w(z) = z. D’où (1).
D’autre part, x normalise ˆ
M et la classe x ˆ
M est conservée par l’action galoisienne et par ˆ
θ (parce que ad x normalise
L M ˆ
θ, cf. [I] 3.2). Il en résulte que la
restriction de ad x à Z( ˆ
M ) conserve aussi ces actions. Alors l’application ˜
s → x˜ sx
−1
définit une bijection de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF )) sur lui-même. Les
données endoscopiques G
(˜ s) et G
(x˜ sx
−1 ) sont équivalentes, l’équivalence étant
définie par x. Cette équivalence échange les systèmes de fonctions B
˜
G relatives
aux deux groupes, ainsi qu’il résulte de leur définition. L’équivalence définit un
isomorphisme de SI(G
(˜ s)) sur SI(G
(x˜ sx
−1 )). Cet isomorphisme envoie f
G
(˜ s)
sur f
G
(x˜ sx
−1 ) . Par restriction à M
puis par dualité, il s’en déduit un automorphisme de D
st
g´ eom (M
) qui n’est autre que celui introduit avant l’énoncé. Il en
résulte que
S
G
(x˜ sx
−1 )
M
(xδ, B
˜
G , f
G
(x˜ sx
−1 ) ) = S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
On a aussi évidemment l’égalité i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(x˜ sx
−1 )) = i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)). L’énoncé
résulte alors du simple changement de variables ˜
s → x˜ sx
−1 dans la définition
de I
˜
G,E
˜
M
(M
, x(δ), f ).
Corollaire. Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Supposons que l’une des conditions suivantes soit vérifiée :
Chapitre II. Enoncés des résultats
II.1.13 Action d’un groupe d’automorphismes
Les données sont les mêmes que dans le paragraphe précédent. On a introduit
en [I] 3.2 le groupe d’automorphismes Aut( ˜
M , M
). Il agit sur D
st
g´ eom (M
) ou
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . On note cette action (x, δ) → x(δ).
Lemme. Soient x ∈ Aut( ˜
M , M
) et δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Pour tout
f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )), on a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, x(δ), f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ).
Preuve. On réalise
L M comme espace de Levi standard de
L G. D’après la définition de [I] 3.2, x est un élément de ˆ
G tel que ad x ( ˆ
M ) = ˆ
M , ad x (M
) = M
et
ad x ( ˜
ζ) ∈ Z( ˆ
M ) ˜
ζ. Montrons que
(1) ad x ( ˜
ζ) ∈ Z( ˆ
M )
ΓF ˜
ζ.
Rappelons que ˜
ζm
= a(w)m
w( ˜
ζ) pour tout (m
, w) ∈ M
, où a est à valeurs
dans Z( ˆ
G). Ecrivons ad x ( ˜
ζ) = z ˜
ζ, avec z ∈ Z( ˆ
M ). Pour (m
, w) ∈ M
, posons
m
= x
−1 m
w(x). Alors (m
, w) ∈ M
, donc ˜
ζm
= a(w)m
w( ˜
ζ), c’est-à-dire
˜
ζx
−1 m
w(x) = a(w)x
−1 m
w(x)w( ˜
ζ ).
Cela équivaut à ad x ( ˜
ζ)m
=a(w)m
w(ad x ( ˜
ζ)), ou encore à z ˜
ζm
=a(w)m
w(z)w( ˜
ζ).
En comparant avec la première égalité de la preuve, on obtient w(z) = z. D’où (1).
D’autre part, x normalise ˆ
M et la classe x ˆ
M est conservée par l’action galoisienne et par ˆ
θ (parce que ad x normalise
L M ˆ
θ, cf. [I] 3.2). Il en résulte que la
restriction de ad x à Z( ˆ
M ) conserve aussi ces actions. Alors l’application ˜
s → x˜ sx
−1
définit une bijection de ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF /(Z( ˆ
G)
ΓF (1 − ˆ
θ)(Z( ˆ
M )
ΓF )) sur lui-même. Les
données endoscopiques G
(˜ s) et G
(x˜ sx
−1 ) sont équivalentes, l’équivalence étant
définie par x. Cette équivalence échange les systèmes de fonctions B
˜
G relatives
aux deux groupes, ainsi qu’il résulte de leur définition. L’équivalence définit un
isomorphisme de SI(G
(˜ s)) sur SI(G
(x˜ sx
−1 )). Cet isomorphisme envoie f
G
(˜ s)
sur f
G
(x˜ sx
−1 ) . Par restriction à M
puis par dualité, il s’en déduit un automorphisme de D
st
g´ eom (M
) qui n’est autre que celui introduit avant l’énoncé. Il en
résulte que
S
G
(x˜ sx
−1 )
M
(xδ, B
˜
G , f
G
(x˜ sx
−1 ) ) = S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
On a aussi évidemment l’égalité i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(x˜ sx
−1 )) = i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s)). L’énoncé
résulte alors du simple changement de variables ˜
s → x˜ sx
−1 dans la définition
de I
˜
G,E
˜
M
(M
, x(δ), f ).
Corollaire. Soit δ ∈ D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗ . Supposons que l’une des conditions suivantes soit vérifiée :