II.1. Intégrales orbitales pondérées
233
(i) la projection de δ sur le sous-espace des éléments de
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
invariants par l’action de Aut( ˜
M , M
) est nulle ;
(ii) le support de δ ne coupe pas l’ensemble des δ ∈ ˜
M
(F ) tels que N
˜
M
, ˜
M (δ) ∈
N
˜
M ( ˜
M ab (F )).
Alors on a l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = 0 pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. D’après le lemme, on peut remplacer δ par sa projection sur le sous-espace
des éléments de D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(F ))
∗ invariants par l’action de Aut( ˜
M , M
).
La conclusion s’ensuit sous l’hypothèse (i). Par ailleurs, grâce à [I] lemme 2.6, on
voit que (ii) entraîne (i).
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. Les résultats ci-dessus valent aussi pour les
distributions I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, B, f ).
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8. Les
résultats ci-dessus valent aussi pour les distributions I
G,E
M (M
, δ, B, f ).
II.1.14 Formules de descente
Les données sont les mêmes qu’en 1.12. On va considérer trois situations dans
lesquelles on a des formules de descente pour les distributions introduites en 1.10
et 1.12.
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. Modulo certains choix,
on construit comme en [I] 3.4 un sous-espace de Levi ˜
R de ˜
M et une donnée
endoscopique elliptique et relevante R
de ˜
R. On dispose d’un homomorphisme
I(M
) ⊗ Mes(M
(F )) → I(R
) ⊗ Mes(R
(F ))
ϕ
→
ϕ R
et d’un homomorphisme dual
D g´ eom (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
→ D g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
δ
→
δ
M
qui préserve la stabilité.
(b) On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et on
fixe un système de fonctions B comme en 1.9. Soit R un groupe de Levi de M .
On a les mêmes homomorphismes que ci-dessus pour M
= M et R
= R. On
réalise ˆ
R et ˆ
M comme des groupes de Levi standard de ˆ
G. Posons dans ce cas la
définition suivante. Soit ˜
L ∈ L( ˜
R). Il lui correspond un élément ˆ
L ∈ L( ˆ
R). Alors
e
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L) =
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)[(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
L)
ΓF ) : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si A
G
M ⊕ A
G
L = A
G
R ,
0,
sinon.
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(i) la projection de δ sur le sous-espace des éléments de
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
invariants par l’action de Aut( ˜
M , M
) est nulle ;
(ii) le support de δ ne coupe pas l’ensemble des δ ∈ ˜
M
(F ) tels que N
˜
M
, ˜
M (δ) ∈
N
˜
M ( ˜
M ab (F )).
Alors on a l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, f ) = 0 pour tout f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
Preuve. D’après le lemme, on peut remplacer δ par sa projection sur le sous-espace
des éléments de D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(F ))
∗ invariants par l’action de Aut( ˜
M , M
).
La conclusion s’ensuit sous l’hypothèse (i). Par ailleurs, grâce à [I] lemme 2.6, on
voit que (ii) entraîne (i).
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en 1.9. Les résultats ci-dessus valent aussi pour les
distributions I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, B, f ).
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. Fixons une fonction B comme en 1.8. Les
résultats ci-dessus valent aussi pour les distributions I
G,E
M (M
, δ, B, f ).
II.1.14 Formules de descente
Les données sont les mêmes qu’en 1.12. On va considérer trois situations dans
lesquelles on a des formules de descente pour les distributions introduites en 1.10
et 1.12.
(a) Soit R
un groupe de Levi de M
qui est relevant. Modulo certains choix,
on construit comme en [I] 3.4 un sous-espace de Levi ˜
R de ˜
M et une donnée
endoscopique elliptique et relevante R
de ˜
R. On dispose d’un homomorphisme
I(M
) ⊗ Mes(M
(F )) → I(R
) ⊗ Mes(R
(F ))
ϕ
→
ϕ R
et d’un homomorphisme dual
D g´ eom (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
→ D g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
δ
→
δ
M
qui préserve la stabilité.
(b) On suppose que (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et on
fixe un système de fonctions B comme en 1.9. Soit R un groupe de Levi de M .
On a les mêmes homomorphismes que ci-dessus pour M
= M et R
= R. On
réalise ˆ
R et ˆ
M comme des groupes de Levi standard de ˆ
G. Posons dans ce cas la
définition suivante. Soit ˜
L ∈ L( ˜
R). Il lui correspond un élément ˆ
L ∈ L( ˆ
R). Alors
e
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L) =
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)[(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
L)
ΓF ) : Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 , si A
G
M ⊕ A
G
L = A
G
R ,
0,
sinon.