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Chapitre II. Enoncés des résultats
Remarquons que l’hypothèse A
G
M ⊕ A
G
L = A
G
R entraîne que le quotient (Z( ˆ
M )
ΓF
∩
Z( ˆ
L)
ΓF )/Z( ˆ
G)
ΓF est fini. Remarquons aussi que le terme [(Z( ˆ
M )
ΓF
∩ Z( ˆ
L)
ΓF ) :
Z( ˆ
G)
ΓF ]
−1 peut s’interpréter comme l’inverse du nombre d’éléments du noyau de
l’homomorphisme naturel
Z( ˆ
M )
ΓF /Z( ˆ
G)
ΓF
→ Z( ˆ
R)
ΓF /Z( ˆ
L)
ΓF .
(c) Soit R
un groupe de Levi de M
qui n’est pas relevant.
L’espace D g´ eom (R
) n’est pas défini. Néanmoins, fixons des données supplémentaires M
1 , . . . , Δ 1 pour M
. On a alors un homomorphisme d’induction
D g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F )) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
→ D g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (F )) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
D g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(F ))
∗
δ
→
δ
M
.
Proposition.
(i) Dans la situation (a), soient
δ ∈ D
st
g´ eom (R
) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
˜
L,E
˜
R
(R
, δ, f ˜
L,ω ).
(ii) Dans la situation (b), soient
δ ∈ D
st
g´ eom (R) ⊗ Mes(R(F ))
∗
et f ∈ I( ˜
G(F )) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ
M , B, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)S
˜
L
˜
R
(δ, B, f ˜
L ).
(iii) Dans la situation (c), soient
δ ∈ D g´ eom,λ1 ( ˜
R
1 (F )) ⊗ Mes(R
(F ))
∗
et f ∈ I( ˜
G(F ), ω) ⊗ Mes(G(F )).
On a l’égalité I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) = 0.
Preuve. On choisit une paire de Borel épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E α ) α∈Δ ) de ˆ
G comme
en [I] 1.5. Si (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure et si M
= M,
la formule (i) n’est autre que celle du lemme 1.7. On exclut ce cas. On peut
supposer que ˆ
R et ˆ
M sont des Levi standard de ˆ
G. On écrit R
= (R
, R
, ˜
ζ). On