II.1. Intégrales orbitales pondérées
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peut supposer que M
= (M
, M
, ˜
ζ), avec M
= ˆ
M
R
, cf. [I] 3.4. Rappelons la
définition
(1)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f )
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ
M
, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Pour chaque ˜
s, on fixe des données auxiliaires G
(˜ s) 1 , . . . , Δ(˜ s) 1 . On note λ(˜ s) 1
le caractère associé de C(˜ s) 1 (F ) et ˜
M
(˜ s) 1 l’image réciproque de ˜
M
dans ˜
G
(˜ s) 1 .
On peut remplacer S
G
(˜ s)
M (δ
M
, f
G
(˜ s) ) par S
˜
G
(˜ s)1
˜
M (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s)
M
(˜ s)1
1
, f
˜
G
(˜ s)1 ). L’assertion (ii) se généralise au cas où les fonctions et distributions se transforment
selon un caractère d’un tore central. La preuve est formelle. On applique cette
assertion par récurrence à chacun des termes du second membre. On obtient
(2)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
˜
L
˜
s ∈L
˜
G (˜ s) ( ˜
R )
e
˜
G
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1
( ˜
M
(˜ s) 1 , ˜
L
˜
s,1 )S
˜
L
˜
s,1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
G , (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L
˜
s,1
)
( ˜
L
˜
s,1 est l’image réciproque de ˜
L
˜
s dans ˜
G
(˜ s) 1 ). Rappelons que l’on peut identifier
L( ˜
R) à un sous-ensemble de L( ˆ
R) et de même, pour tout ˜
s, L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
) à un
sous-ensemble de L
ˆ
G
(˜ s) ( ˆ
R
). Soient ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ et ˜
L
˜
s ∈ L
˜
G
(˜ s) ( ˜
R
).
L’espace A L est inclus dans A R qui s’identifie à A ˜
R puisque R
est une donnée
elliptique de (R, ˜
R, a). Un raisonnement standard montre qu’il existe un unique
˜
L ∈ L( ˜
R) de sorte que A L s’identifie à A ˜
L . Alors ˆ
L
˜
s est égal à l’intersection de
ˆ
G
(˜ s) avec ˆ
L et aussi à la composante neutre du commutant de ˜
s dans ˆ
M . On
introduit le groupe L
(˜ s) = ˆ
L
˜
s R
. Alors (L
˜
s , L
(˜ s), ˜
s) n’est autre que la donnée
endoscopique L
(˜ s) de (L, ˜
L, a). Cette donnée est elliptique par construction et est
relevante puisqu’elle «contient» R
qui l’est par hypothèse. Les données L
˜
s,1 , . . .
obtenues par restriction de celles fixées pour G
(˜ s) sont des données auxiliaires
pour L
(˜ s). Enfin on a l’égalité (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L
˜
s,1
= (f ˜
L,ω )
˜
L
˜
s,1 . Tout cela montre que
l’on a
S
˜
L
˜
s,1
˜
R (˜ s)1,λ(˜ s)1
(δ(˜ s) 1 , B
˜
G , (f
˜
G
(˜ s)1 ) ˜
L
˜
s,1
) = S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
G , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ).
Il est clair que d
˜
G
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1
( ˜
M
(˜ s) 1 , ˜
L
˜
s,1 ) = d
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)) (par exemple, A
G
(˜ s)1
R (˜ s)1 =
A
G
(˜ s)
R
). On vérifie que l’homomorphisme naturel
(Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF )/Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ (Z( ˆ
M
(˜ s) 1 )
ΓF
∩ Z( ˆ
L
˜
s,1 )
ΓF )/Z( ˆ
G
(˜ s) 1 )
ΓF