236
Chapitre II. Enoncés des résultats
est bijectif (cf. la preuve de la relation (6) de 1.10). On en déduit que
e
˜
G
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1
( ˜
M
(˜ s) 1 , ˜
L
˜
s,1 ) = e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)).
On est parti d’un couple (˜ s, ˜
L
˜
s ) et on lui a associé ˜
L ∈ L( ˜
R). A fortiori,
on peut lui associer le couple (˜ s, ˜
L). On voit que l’on obtient une bijection de
notre ensemble de couples (˜ s, ˜
L
˜
s ) sur celui des couples (˜ s, ˜
L) pour lequel la donnée
endoscopique L
(˜ s) est elliptique.
Utilisons les relations ci-dessus et regroupons les ˜
L
˜
s qui interviennent dans
la formule (2) selon l’espace de Levi ˜
L que l’on vient de leur associer. On obtient
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
G , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ).
Fixons ˜
L ∈ L( ˜
R). Pour chaque espace ˜
L
(˜ s) apparaissant ci-dessus, les systèmes de
fonctions B
˜
G et B
˜
L sont les mêmes, ce qui nous autorise à remplacer le premier
par le second. Un élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ n’intervient effectivement
dans la formule ci-dessus que si L
(˜ s) est elliptique, G
(˜ s) l’est aussi (d’après la
définition de i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))) et A
G
(˜ s)
R
= A
M
R ⊕ A
L
(˜ s)
R
(d’après la définition de
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))). Les deux premières conditions plus les hypothèses que M
et
R
sont elliptiques entraînent les égalités A
G
(˜ s)
R
= A
˜
G
˜
R
, A
M
R = A
˜
M
˜
R
, A
L
(˜ s)
R
= A
˜
L
˜
R
.
L’égalité précédente devient A
˜
G
˜
R
= A
˜
M
˜
R
⊕ A
˜
L
˜
R
. Plus précisément les rapports de
mesures sont les mêmes, c’est-à-dire que d
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)) = d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L). Inversement, si ce dernier nombre n’est pas nul et si L
(˜ s) est elliptique, G
(˜ s) l’est aussi.
En effet, l’espace A
G
(˜ s)
R
contient A
M
R et A
L
(˜ s)
R
puisque M
et L
(˜ s) sont des Levi
de G
(˜ s). Il contient donc leur somme, laquelle est A
˜
G
˜
R
, ce qui assure l’ellipticité.
On suppose désormais d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0. En se rappelant la définition des différents coefficients, on peut donc récrire la sous-somme de (3) indexée par ˜
L sous la
forme
(4) d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
X(˜ s)S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
L , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ),
où
X(˜ s) = i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))[(Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF ) : Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF ]
−1 .
Les deux facteurs composant X(˜ s) sont les inverses des nombres d’éléments des
noyaux des homomorphismes
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
Chapitre II. Enoncés des résultats
est bijectif (cf. la preuve de la relation (6) de 1.10). On en déduit que
e
˜
G
(˜ s)1
˜
R (˜ s)1
( ˜
M
(˜ s) 1 , ˜
L
˜
s,1 ) = e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)).
On est parti d’un couple (˜ s, ˜
L
˜
s ) et on lui a associé ˜
L ∈ L( ˜
R). A fortiori,
on peut lui associer le couple (˜ s, ˜
L). On voit que l’on obtient une bijection de
notre ensemble de couples (˜ s, ˜
L
˜
s ) sur celui des couples (˜ s, ˜
L) pour lequel la donnée
endoscopique L
(˜ s) est elliptique.
Utilisons les relations ci-dessus et regroupons les ˜
L
˜
s qui interviennent dans
la formule (2) selon l’espace de Levi ˜
L que l’on vient de leur associer. On obtient
(3)
I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
G , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ).
Fixons ˜
L ∈ L( ˜
R). Pour chaque espace ˜
L
(˜ s) apparaissant ci-dessus, les systèmes de
fonctions B
˜
G et B
˜
L sont les mêmes, ce qui nous autorise à remplacer le premier
par le second. Un élément ˜
s ∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ n’intervient effectivement
dans la formule ci-dessus que si L
(˜ s) est elliptique, G
(˜ s) l’est aussi (d’après la
définition de i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))) et A
G
(˜ s)
R
= A
M
R ⊕ A
L
(˜ s)
R
(d’après la définition de
e
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s))). Les deux premières conditions plus les hypothèses que M
et
R
sont elliptiques entraînent les égalités A
G
(˜ s)
R
= A
˜
G
˜
R
, A
M
R = A
˜
M
˜
R
, A
L
(˜ s)
R
= A
˜
L
˜
R
.
L’égalité précédente devient A
˜
G
˜
R
= A
˜
M
˜
R
⊕ A
˜
L
˜
R
. Plus précisément les rapports de
mesures sont les mêmes, c’est-à-dire que d
˜
G
(˜ s)
˜
R
( ˜
M
, ˜
L
(˜ s)) = d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L). Inversement, si ce dernier nombre n’est pas nul et si L
(˜ s) est elliptique, G
(˜ s) l’est aussi.
En effet, l’espace A
G
(˜ s)
R
contient A
M
R et A
L
(˜ s)
R
puisque M
et L
(˜ s) sont des Levi
de G
(˜ s). Il contient donc leur somme, laquelle est A
˜
G
˜
R
, ce qui assure l’ellipticité.
On suppose désormais d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0. En se rappelant la définition des différents coefficients, on peut donc récrire la sous-somme de (3) indexée par ˜
L sous la
forme
(4) d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
X(˜ s)S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
L , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ),
où
X(˜ s) = i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))[(Z( ˆ
M
)
ΓF
∩ Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF ) : Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF ]
−1 .
Les deux facteurs composant X(˜ s) sont les inverses des nombres d’éléments des
noyaux des homomorphismes
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF