II.1. Intégrales orbitales pondérées
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et
Z( ˆ
M
)
ΓF /Z( ˆ
G
(˜ s))
ΓF
→ Z( ˆ
R
)
ΓF /Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF .
Ces deux homomorphismes étant surjectifs, X(˜ s) est l’inverse du nombre d’éléments du noyau de l’homomorphisme composé
p 1 (˜ s) : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
R
)
ΓF /Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF .
La donnée G
(˜ s) a maintenant disparu et tous les termes ne dépendent que de la
classe ˜
sZ( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ . Rappelons que l’hypothèse A
˜
G
˜
R
= A
˜
M
˜
R
⊕ A
˜
L
˜
R
entraîne dualement
que l’homomorphisme
(Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ,0
× Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ,0 )/ diag − (Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ,0 ) → Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0
est surjectif de noyau fini (diag − est le plongement antidiagonal). Rappelons aussi
que
Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ = Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ,0 Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ .
On en déduit que l’homomorphisme naturel.
p 2 : Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ
est aussi surjectif de noyau fini. On peut récrire la formule (4) en sommant sur
l’espace d’arrivée de cet homomorphisme plutôt que sur son espace de départ. On
obtient
(5)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
R)
Γ F , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ F , ˆ
θ ;L (˜ s) elliptique
| Ker(p 2 )|X(˜ s)S
L
(˜ s)
R (δ, B
˜
L , (f ˜
L,ω )
L
(˜ s) ).
On a l’égalité
(6)
| Ker(p 2 )|X(˜ s) = i ˜
R ( ˜
L, ˜
L
(˜ s)).
En effet, l’homomorphisme p 1 (˜ s) se factorise en
Z( ˆ
M )
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
ΓF , ˆ
θ p2
→ Z( ˆ
R)
ΓF , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
ΓF , ˆ
θ
→ Z( ˆ
R
)
ΓF /Z( ˆ
L
(˜ s))
ΓF .
Ces deux homomorphismes étant surjectifs et X(˜ s) étant l’inverse du nombre
d’éléments du noyau de leur composé, le produit | Ker(p 2 )|X(˜ s) est l’inverse du
nombre d’éléments du noyau du second homomorphisme. C’est i ˜
R ( ˜
L, ˜
L
(˜ s)) par
définition de ce terme.
Remplaçons | Ker(p 2 )|X(˜ s) par i ˜
R ( ˜
L, ˜
L
(˜ s)) dans la formule (5). Cela nous
permet de supprimer la condition L
(˜ s) elliptique puisque ce terme est nul si cette
condition n’est pas vérifiée. Alors (5) coïncide avec le produit de d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) et de