V.7. Le cas des groupes complexes
573
transfert appartient à D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ . La formule (2) montre que
ξ
˜
G,st (δ, B, H) appartient aussi à cet espace. Pour la même raison, ξ
˜
G,st (δ, B, H)
appartient à Ind
˜
G
˜
M
(D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ ). Donc ξ
˜
G,st (δ, B, H) appartient à
D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ . Fixons un supplémentaire W de V
G
0,M dans V
G
M .
Il existe un unique élément ξ
˜
G,st (δ, B) ∈ W ⊗ D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ qui
soit faiblement équivalent à ξ
˜
G,st (δ, B). Dans la formule (3), on peut remplacer
ξ
˜
G,st (δ, B, H) par ξ
˜
G,st (δ, B, H). Supposons que f soit instable, c’est-à-dire que son
image dans SI( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)) soit nulle. En vertu du théorème 1.4 et des propriétés énoncées en 2.4, les termes S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) et S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f )
sont nuls. On obtient que I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ) est faiblement équivalent à 0. On
peut écrire
ξ
˜
G,st (δ, H, B) =
i=1,...,n
u i (H)γ i ,
où (u i ) i=1,...,n est une famille d’éléments linéairement indépendants de W et les
γ i appartiennent à D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ . Alors
I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ) =
i=1,...,n
u i (H)I
˜
G (γ i , f ).
Par définition de W, ceci ne peut être faiblement équivalent à 0 que si tous les
coefficients sont nuls. Cela étant vrai pour tout f instable, les distributions γ i sont
stables. Grâce au lemme [I] 5.13, elles sont induites d’éléments de D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ et appartiennent donc à D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
Donc ξ
˜
G,st (δ, B) prend ses valeurs dans l’espace voulu. Puisque ces valeurs
sont stables, on peut remplacer le premier terme de (3) par S
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ).
Alors (3) devient la formule de l’énoncé de la proposition 6.3. Cela achève la
démonstration.
V.7 Le cas des groupes complexes
Considérons très brièvement le cas où le corps de base n’est plus R mais C. On
considère donc un triplet (G, ˜
G, a) défini sur C. Tous les résultats du chapitre
restent valables. Pour le voir, on peut reprendre les démonstrations et constater qu’elles valent aussi bien dans le cas complexe. Certaines se simplifient : par
exemple, les K-espaces disparaissent. On peut aussi appliquer les résultats du
cas réel au triplet réel (G R , ˜
G R , a R ) déduit du triplet initial par restriction des
scalaires. Cette deuxième méthode perturbe les hypothèses de récurrence. Pour
(G, ˜
G, a), celles-ci concernent des triplets complexes (G
, ˜
G
, a
) vérifiant en tout
cas dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ). Pour (G R , ˜
G R , a R ), elles concernent des triplets réels
(G
, ˜
G
, a
) vérifiant dim(G
SC ) ≤ dim(G R,SC ) = 2 dim(G SC ). En fait, on n’applique ces hypothèses de récurrence qu’à des triplets déduits de (G R , ˜
G R , a R ) par
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transfert appartient à D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ . La formule (2) montre que
ξ
˜
G,st (δ, B, H) appartient aussi à cet espace. Pour la même raison, ξ
˜
G,st (δ, B, H)
appartient à Ind
˜
G
˜
M
(D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ ). Donc ξ
˜
G,st (δ, B, H) appartient à
D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ . Fixons un supplémentaire W de V
G
0,M dans V
G
M .
Il existe un unique élément ξ
˜
G,st (δ, B) ∈ W ⊗ D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ qui
soit faiblement équivalent à ξ
˜
G,st (δ, B). Dans la formule (3), on peut remplacer
ξ
˜
G,st (δ, B, H) par ξ
˜
G,st (δ, B, H). Supposons que f soit instable, c’est-à-dire que son
image dans SI( ˜
G(R))⊗Mes(G(R)) soit nulle. En vertu du théorème 1.4 et des propriétés énoncées en 2.4, les termes S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) et S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f )
sont nuls. On obtient que I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ) est faiblement équivalent à 0. On
peut écrire
ξ
˜
G,st (δ, H, B) =
i=1,...,n
u i (H)γ i ,
où (u i ) i=1,...,n est une famille d’éléments linéairement indépendants de W et les
γ i appartiennent à D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ . Alors
I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ) =
i=1,...,n
u i (H)I
˜
G (γ i , f ).
Par définition de W, ceci ne peut être faiblement équivalent à 0 que si tous les
coefficients sont nuls. Cela étant vrai pour tout f instable, les distributions γ i sont
stables. Grâce au lemme [I] 5.13, elles sont induites d’éléments de D
st
g´ eom (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ et appartiennent donc à D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
Donc ξ
˜
G,st (δ, B) prend ses valeurs dans l’espace voulu. Puisque ces valeurs
sont stables, on peut remplacer le premier terme de (3) par S
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ).
Alors (3) devient la formule de l’énoncé de la proposition 6.3. Cela achève la
démonstration.
V.7 Le cas des groupes complexes
Considérons très brièvement le cas où le corps de base n’est plus R mais C. On
considère donc un triplet (G, ˜
G, a) défini sur C. Tous les résultats du chapitre
restent valables. Pour le voir, on peut reprendre les démonstrations et constater qu’elles valent aussi bien dans le cas complexe. Certaines se simplifient : par
exemple, les K-espaces disparaissent. On peut aussi appliquer les résultats du
cas réel au triplet réel (G R , ˜
G R , a R ) déduit du triplet initial par restriction des
scalaires. Cette deuxième méthode perturbe les hypothèses de récurrence. Pour
(G, ˜
G, a), celles-ci concernent des triplets complexes (G
, ˜
G
, a
) vérifiant en tout
cas dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ). Pour (G R , ˜
G R , a R ), elles concernent des triplets réels
(G
, ˜
G
, a
) vérifiant dim(G
SC ) ≤ dim(G R,SC ) = 2 dim(G SC ). En fait, on n’applique ces hypothèses de récurrence qu’à des triplets déduits de (G R , ˜
G R , a R ) par