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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
On voit qu’ajouter à X ˜
L (H) le terme S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ) revient
à supprimer la restriction t = 1 dans la formule ci-dessus. La somme en t devient
alors
I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f ).
En appliquant la proposition 1.13, c’est aussi
I
˜
G
˜
L
(exp(H L ) transfert(ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )), f ).
Alors
S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ) + X ˜
L (H) = I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (δ, B, H
L ), f ),
où
ξ
˜
L (δ, B, H
L ) =
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s)) transfert(ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )).
On applique la définition 6.4(3), en se rappelant qu’il s’agissait d’une égalité
dans V
L
M , c’est-à-dire à faible équivalence près. Elle implique que ξ
˜
L (δ, B, H
L )
et ξ
˜
L (δ, B, H
L ) sont faiblement équivalents. Alors le terme indexé par ˜
L de la
formule (1) est faiblement équivalent à S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ).
Supposons maintenant ˜
L = ˜
G. La définition se simplifie :
X ˜
G (H) =
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s) (ξ
G
(s),st (δ, B, H), f
G
(s) )
=
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))I
˜
G (transfert(ξ
G
(s),st (δ, B, H)), f )
= I
˜
G (ξ
˜
G (δ, B, H), f ) − I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ),
où on a posé
(2)
ξ
˜
G,st (δ, B, H) = ξ
˜
G (δ, B, H)
−
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s)) transfert(ξ
G
(s),st (δ, B, H)).
Alors le terme indexé par ˜
G dans la formule (1) est égal à I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ).
Cette formule devient
(3)
I
˜
G (ξ
˜
G,st (δ, B, H), f ) +
˜
L∈L( ˜
M), ˜
L = ˜
G
S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ).
La distribution ξ
˜
G (δ, B, H) appartient à D tr-orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ . Les distributions ξ
G
(s),st (δ, B, H) appartiennent à D
st
tr-orb (G
(s)) ⊗ Mes(G
(s; R))
∗ . Leur