V.6. Un résultat d’approximation
571
La somme se récrit
(2)
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (δ, B, H
L ), f ),
où
(3)
ξ
˜
L (δ, B, H
L )
=
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s)) transfert(ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )).
Pour tout s apparaissant ci-dessus, le terme ξ
L
(s),st (δ, B) appartient à V
L
(s)
M
⊗
D
st
tr-orb (L
(s), O
) ⊗ Mes(L
(s; R))
∗ . On a l’inclusion naturelle V
L
(s)
M
⊂ V
L
M . En
reprenant les définitions, on voit que le transfert envoie
D
st
tr-orb (L
(s), O
) ⊗ Mes(L
(s; R))
∗
dans D tr-orb ( ˜
L(R), O) ⊗ Mes(L(R))
∗ .
Donc ξ
˜
L (δ, B) est bien un élément de V
L
M ⊗ D tr-orb ( ˜
L(R), O)⊗ Mes(L(R))
∗ comme
on le voulait. On a montré que le membre de droite de (1) était faiblement équivalent à (2). C’est la relation de l’énoncé.
V.6.5 Preuve de la proposition 6.3
Comme on l’a déjà vu plusieurs fois, la preuve est essentiellement la même que la
précédente. On part de la formule
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) ).
On applique la proposition 6.4 au premier terme et la proposition 6.3 par récurrence aux autres. On obtient que S
˜
G
˜
M
(δ, B, f) est faiblement équivalente à la
fonction sur A M qui à H associe
(1)
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (δ, B, H
L ), f ) − X ˜
L (H)
,
où
X ˜
L (H) =
s∈Z( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
t∈sZ( ˆ
L) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R ,t =1
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))
S
G
(t)
L (s) (exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f
G
(t) ).
Supposons d’abord ˜
L = ˜
G. D’après notre hypothèse de récurrence, le terme
ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ) est déjà défini.