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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
La distribution λ A M
1
(exp(H 1 )) exp(H 1 )δ 1 ne dépend pas du relèvement H 1 de H.
En effet, on ne peut modifier H 1 que par un élément de A C1 , donc exp(H 1 ) par
un élément c ∈ A C1 . Or cδ 1 = λ 1 (c)
−1
δ 1 et λ 1 coïncide sur A C1 avec λ A M
1
.
D’où l’invariance cherchée. On vérifie que, si l’on change de données auxiliaires,
les distributions λ A M
1
(exp(H 1 )) exp(H 1 )δ 1 se recollent en un unique élément de
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ , que l’on note exp(H)δ. On applique la proposition.
Chaque terme S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ) se développe en une somme indexée par des espaces de Levi ˜
L
s ∈ L
˜
G
(s) ( ˜
M
). Comme on l’a déjà vu plusieurs fois, un tel espace
de Levi donne naissance à un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ). Le terme s définit une
donnée endoscopique L
(s) de (L, ˜
L) de sorte que ˜
L
s ˜
L
(s). Pour simplifier les
notations, on anticipe cela dans la formule suivante. On obtient que le membre de
droite de (1) est faiblement équivalent à la fonction sur A M qui à H associe
s∈ζZ( ˆ
M) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M )
S
G
(s)
L (s) (exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f
G
(s) ).
En regroupant les couples (s, ˜
L
s ) selon l’espace de Levi ˜
L associé, on obtient
comme en [II] 3.7 que l’expression ci-dessus est égale à
˜
L∈L( ˜
M)
s∈ζZ( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
t∈sZ( ˆ
L)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))
S
G
(t)
L (s) (exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f
G
(t) )
ou encore
˜
L∈L( ˜
M)
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f ).
Les distributions exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, H
L , B) sont ˜
G-équisingulières pour H en position générale et on peut appliquer la proposition 1.13. Cela nous permet de
remplacer ci-dessus
I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f )
par
I
˜
G
˜
L
(transfert(exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )), f ).
On a
transfert(exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )) = exp(H L )(transfert(ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ))).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
La distribution λ A M
1
(exp(H 1 )) exp(H 1 )δ 1 ne dépend pas du relèvement H 1 de H.
En effet, on ne peut modifier H 1 que par un élément de A C1 , donc exp(H 1 ) par
un élément c ∈ A C1 . Or cδ 1 = λ 1 (c)
−1
δ 1 et λ 1 coïncide sur A C1 avec λ A M
1
.
D’où l’invariance cherchée. On vérifie que, si l’on change de données auxiliaires,
les distributions λ A M
1
(exp(H 1 )) exp(H 1 )δ 1 se recollent en un unique élément de
D
st
g´ eom (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ , que l’on note exp(H)δ. On applique la proposition.
Chaque terme S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ) se développe en une somme indexée par des espaces de Levi ˜
L
s ∈ L
˜
G
(s) ( ˜
M
). Comme on l’a déjà vu plusieurs fois, un tel espace
de Levi donne naissance à un espace de Levi ˜
L ∈ L( ˜
M ). Le terme s définit une
donnée endoscopique L
(s) de (L, ˜
L) de sorte que ˜
L
s ˜
L
(s). Pour simplifier les
notations, on anticipe cela dans la formule suivante. On obtient que le membre de
droite de (1) est faiblement équivalent à la fonction sur A M qui à H associe
s∈ζZ( ˆ
M) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))
˜
L
s ∈L
˜
G (s) ( ˜
M )
S
G
(s)
L (s) (exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f
G
(s) ).
En regroupant les couples (s, ˜
L
s ) selon l’espace de Levi ˜
L associé, on obtient
comme en [II] 3.7 que l’expression ci-dessus est égale à
˜
L∈L( ˜
M)
s∈ζZ( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
L)
Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))
t∈sZ( ˆ
L)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
L (s) ( ˜
G, ˜
G
(t))
S
G
(t)
L (s) (exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f
G
(t) )
ou encore
˜
L∈L( ˜
M)
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
L) Γ R
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(s))I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f ).
Les distributions exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, H
L , B) sont ˜
G-équisingulières pour H en position générale et on peut appliquer la proposition 1.13. Cela nous permet de
remplacer ci-dessus
I
˜
G,E
˜
L
(L
(s), exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ), f )
par
I
˜
G
˜
L
(transfert(exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )), f ).
On a
transfert(exp(H L )ξ
L
(s),st (δ, B, H
L )) = exp(H L )(transfert(ξ
L
(s),st (δ, B, H
L ))).