V.6. Un résultat d’approximation
569
V.6.4 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes
associées aux éléments de D tr-orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison stable semi-simples dans
˜
M (R). En fixant pour un instant les mesures, on définit l’espace
D tr-orb ( ˜
G(R), O) = D tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ Ind
˜
G
˜
M
(D g´ eom (O)).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G (B) : D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗
tel que, pour tout γ ∈ D tr-orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)⊗Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
Remarque. Si ˜
M = ˜
G, ξ
˜
M (B) est l’inclusion naturelle.
Preuve. L’unicité se démontre comme en 6.2. Démontrons l’existence. Par linéarité, on peut supposer que γ est une intégrale orbitale appartenant à D orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ ou qu’il existe une donnée endoscopique elliptique et relevante M
de (M, ˜
M ), avec M
= M , qu’il existe une classe de conjugaison stable O
dans
˜
M
(R) correspondant à une classe dans O et qu’il existe δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗
Mes(M
(R))
∗ , de sorte que γ = transfert(δ). Le premier cas est traité par la proposition 6.2. Traitons le second. On écrit M
= (M
, M
, ζ). D’après 2.4(2) (qui
est valide dans notre situation), on a l’égalité
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, B, f )
=
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ).
On peut appliquer la proposition 6.3 par récurrence à chacun des termes intervenant ici. Comme toujours, on doit développer quelques formalités pour adapter
cette proposition au cas de données endoscopiques. Le seul point à expliquer est
que la multiplication (H, δ) → exp(H)δ a un sens dans D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(R))
∗ ,
pour H ∈ A M A M . En effet, introduisons des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 .
Identifions δ à un élément δ 1 de D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R)) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . L’élément
H ∈ A M A M se relève en un élément H 1 ∈ A M
1
et la distribution exp(H 1 )δ 1
est bien définie. On a introduit en [IV] 2.1 un caractère λ A M
1
de A M
1
= exp(A M
1
).
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V.6.4 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes
associées aux éléments de D tr-orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison stable semi-simples dans
˜
M (R). En fixant pour un instant les mesures, on définit l’espace
D tr-orb ( ˜
G(R), O) = D tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ Ind
˜
G
˜
M
(D g´ eom (O)).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G (B) : D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ D tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗
tel que, pour tout γ ∈ D tr-orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)⊗Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
Remarque. Si ˜
M = ˜
G, ξ
˜
M (B) est l’inclusion naturelle.
Preuve. L’unicité se démontre comme en 6.2. Démontrons l’existence. Par linéarité, on peut supposer que γ est une intégrale orbitale appartenant à D orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ ou qu’il existe une donnée endoscopique elliptique et relevante M
de (M, ˜
M ), avec M
= M , qu’il existe une classe de conjugaison stable O
dans
˜
M
(R) correspondant à une classe dans O et qu’il existe δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗
Mes(M
(R))
∗ , de sorte que γ = transfert(δ). Le premier cas est traité par la proposition 6.2. Traitons le second. On écrit M
= (M
, M
, ζ). D’après 2.4(2) (qui
est valide dans notre situation), on a l’égalité
(1)
I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ) = I
˜
G,E
˜
M
(M
, δ, B, f )
=
s∈ζZ( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M (δ, B, f
G
(s) ).
On peut appliquer la proposition 6.3 par récurrence à chacun des termes intervenant ici. Comme toujours, on doit développer quelques formalités pour adapter
cette proposition au cas de données endoscopiques. Le seul point à expliquer est
que la multiplication (H, δ) → exp(H)δ a un sens dans D
st
g´ eom (M
)⊗Mes(M
(R))
∗ ,
pour H ∈ A M A M . En effet, introduisons des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 .
Identifions δ à un élément δ 1 de D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R)) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . L’élément
H ∈ A M A M se relève en un élément H 1 ∈ A M
1
et la distribution exp(H 1 )δ 1
est bien définie. On a introduit en [IV] 2.1 un caractère λ A M
1
de A M
1
= exp(A M
1
).