568
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
indépendants de i et valent r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B). On peut regrouper les expressions
ci-dessus et on obtient que I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ) est faiblement équivalent à
˜
R∈L( ˜
L)
(−1)
aL−aR r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , B, f ).
L’équivalence faible se conserve par multiplication par une fonction de V
G
M . Donc
l’expression (5) est faiblement équivalente à
˜
R∈L( ˜
M)
(−1)
aM −aR X
˜
R (H)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , B, f ),
où
X
˜
R (H) =
˜
L∈L
˜
R ( ˜
M)
¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B).
Mais la définition (4) entraîne que X
˜
M (H) = 1 tandis que X
˜
R (H) est équivalent
à 0 si ˜
R = ˜
M . Donc (5) est faiblement équivalent à I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
V.6.3 Approximation des intégrales orbitales pondérées
invariantes stables
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison stable semi-simples dans
˜
M (R). En fixant pour un instant les mesures, on définit l’espace
D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) = D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ Ind
˜
G
˜
M
(D
st
g´ eom (O)).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G,st (B) : D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗
tel que, pour tout δ ∈ D
st
tr-orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)⊗Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M
S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Remarques.
(1) Pour H en position générale, la distribution exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ) est ˜
Géquisingulière (c’est-à-dire supportée par des éléments γ ∈ ˜
L(R) tels que
L γ = G γ ), donc l’intégrale S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ) est bien définie.
(2) Si ˜
M = ˜
G, ξ
˜
M,st (B) est l’inclusion naturelle.
L’assertion d’unicité se démontre comme pour la proposition précédente.
L’existence sera démontrée en 6.5.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
indépendants de i et valent r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B). On peut regrouper les expressions
ci-dessus et on obtient que I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ) est faiblement équivalent à
˜
R∈L( ˜
L)
(−1)
aL−aR r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , B, f ).
L’équivalence faible se conserve par multiplication par une fonction de V
G
M . Donc
l’expression (5) est faiblement équivalente à
˜
R∈L( ˜
M)
(−1)
aM −aR X
˜
R (H)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R , B, f ),
où
X
˜
R (H) =
˜
L∈L
˜
R ( ˜
M)
¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)r
˜
R
˜
L
(γ, exp(H L ), B).
Mais la définition (4) entraîne que X
˜
M (H) = 1 tandis que X
˜
R (H) est équivalent
à 0 si ˜
R = ˜
M . Donc (5) est faiblement équivalent à I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
V.6.3 Approximation des intégrales orbitales pondérées
invariantes stables
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison stable semi-simples dans
˜
M (R). En fixant pour un instant les mesures, on définit l’espace
D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) = D
st
tr-orb ( ˜
G(R)) ∩ Ind
˜
G
˜
M
(D
st
g´ eom (O)).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G,st (B) : D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ D
st
tr-orb ( ˜
G(R), O) ⊗ Mes(G(R))
∗
tel que, pour tout δ ∈ D
st
tr-orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R)⊗Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M
S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ).
Remarques.
(1) Pour H en position générale, la distribution exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ) est ˜
Géquisingulière (c’est-à-dire supportée par des éléments γ ∈ ˜
L(R) tels que
L γ = G γ ), donc l’intégrale S
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L,st (δ, B, H
L ), f ) est bien définie.
(2) Si ˜
M = ˜
G, ξ
˜
M,st (B) est l’inclusion naturelle.
L’assertion d’unicité se démontre comme pour la proposition précédente.
L’existence sera démontrée en 6.5.