V.6. Un résultat d’approximation
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générale dans A M , cf. [II] 1.9. Elle est d’ailleurs invariante par translations par
A L , donc définie pour H en position générale dans A
L
M . En fait, on a montré en
[II] 1.7(9) qu’elle s’étendait par continuité au voisinage de tout point de A
L
L en
position générale (dans cette référence, il n’y avait pas de système de fonctions B
mais le résultat s’étend à ce cas). On peut donc définir r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H L ), B) pour
tout H ∈ A M en position générale. Plus précisément, le résultat de [II] 1.7(9)
affirme que l’on a l’égalité
(3)
r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H L ), B) = r
˜
L
˜
L
(γ
, exp(H L ), B)
où γ
est un élément quelconque de l’orbite induite de γ à ˜
L. Cela implique que
cette fonction est définie pour H ∈ U
G
M proche de 0. Définissons une fonction
H → ¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B) sur U
G
M par la formule de récurrence
(4)
¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B) = −
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)r
˜
G
˜
L
(γ, exp(H L ), B).
On vérifie facilement que c’est un élément de V
G
M .
Cela étant, on pose
ξ
˜
G (γ, H, B) = (−1)
aM −aG ¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B)γ
˜
G .
Pour prouver que cette définition satisfait la condition de l’énoncé, on doit calculer
le germe de l’expression
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f ).
Ceci n’est autre que
(5)
˜
L∈L( ˜
M )
(−1)
aM −aL ¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ).
Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Fixons une famille (γ i ) i=1,...,m de représentants des classes de
conjugaison par L(R) dans l’orbite induite par γ.
On peut décomposer I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ) en somme de I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ i , f ), où
γ i est l’intégrale orbitale associée à γ i et une certaine mesure sur L γi (R). On a
montré en [II] 3.2(1) que le germe de I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ i , f ) était équivalent à
˜
R∈L( ˜
L)
(−1)
aL−aR r
˜
R
˜
L
(γ i , exp(H L ), B)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R
i , B, f ).
L’équivalence utilisée dans cette référence n’était pas la même qu’ici, mais elle était
plus forte d’après les définitions. La même assertion vaut donc pour notre équivalence faible. La relation (3) nous dit que les coefficients r
˜
R
˜
L
(γ i , exp(H L ), B) sont
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générale dans A M , cf. [II] 1.9. Elle est d’ailleurs invariante par translations par
A L , donc définie pour H en position générale dans A
L
M . En fait, on a montré en
[II] 1.7(9) qu’elle s’étendait par continuité au voisinage de tout point de A
L
L en
position générale (dans cette référence, il n’y avait pas de système de fonctions B
mais le résultat s’étend à ce cas). On peut donc définir r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H L ), B) pour
tout H ∈ A M en position générale. Plus précisément, le résultat de [II] 1.7(9)
affirme que l’on a l’égalité
(3)
r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H L ), B) = r
˜
L
˜
L
(γ
, exp(H L ), B)
où γ
est un élément quelconque de l’orbite induite de γ à ˜
L. Cela implique que
cette fonction est définie pour H ∈ U
G
M proche de 0. Définissons une fonction
H → ¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B) sur U
G
M par la formule de récurrence
(4)
¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B) = −
˜
L∈L( ˜
M ), ˜
L = ˜
G
¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)r
˜
G
˜
L
(γ, exp(H L ), B).
On vérifie facilement que c’est un élément de V
G
M .
Cela étant, on pose
ξ
˜
G (γ, H, B) = (−1)
aM −aG ¯
r
˜
G
˜
M
(γ, H, B)γ
˜
G .
Pour prouver que cette définition satisfait la condition de l’énoncé, on doit calculer
le germe de l’expression
˜
L∈L( ˜
M)
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f ).
Ceci n’est autre que
(5)
˜
L∈L( ˜
M )
(−1)
aM −aL ¯
r
˜
L
˜
M
(γ, H
L , B)I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ).
Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Fixons une famille (γ i ) i=1,...,m de représentants des classes de
conjugaison par L(R) dans l’orbite induite par γ.
On peut décomposer I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ
˜
L , f ) en somme de I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ i , f ), où
γ i est l’intégrale orbitale associée à γ i et une certaine mesure sur L γi (R). On a
montré en [II] 3.2(1) que le germe de I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ i , f ) était équivalent à
˜
R∈L( ˜
L)
(−1)
aL−aR r
˜
R
˜
L
(γ i , exp(H L ), B)I
˜
G
˜
R
(γ
˜
R
i , B, f ).
L’équivalence utilisée dans cette référence n’était pas la même qu’ici, mais elle était
plus forte d’après les définitions. La même assertion vaut donc pour notre équivalence faible. La relation (3) nous dit que les coefficients r
˜
R
˜
L
(γ i , exp(H L ), B) sont