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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Remarques.
(1) Comme souvent, il est implicite que les fonctions ξ
˜
L (B) intervenant pour
˜
L = ˜
G ont été déterminées par récurrence par le même énoncé appliqué en
remplaçant ˜
G par ˜
L.
(2) Pour ˜
M = ˜
G, on a V
M
M = C. L’application ξ
˜
M (B) est l’identité.
Preuve de l’unicité. On peut supposer par récurrence que les ξ
˜
L sont déterminés
pour ˜
L = ˜
G. Pour un tel ˜
L, la classe d’équivalence faible de la fonction
H → I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
est bien déterminée. En effet, ξ
˜
L (γ, B, H
L ) est uniquement déterminée modulo
une combinaison linéaire de fonctions H → u(H
L )γ ˜
L , où u ∈ V
L
0,M et γ ˜
L ∈
D orb (O
˜
L ) ⊗ Mes(L(R))
∗ . Or, pour de telles données, la relation 2.4(5) (qui est
vérifiée dans notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure) entraîne que la
fonction
H → u(H
L )I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ ˜
L , f )
est faiblement équivalente à 0. Alors la formule de l’énoncé détermine la classe
d’équivalence faible de la fonction
H → I
˜
G (ξ
˜
G (γ, B, H), f ).
Fixons une base (v i ) i∈I d’un supplémentaire de V
G
0,M dans V
G
M . On peut relever
ξ
˜
G (γ, B) de façon unique en un terme
ξ
˜
G (γ, B) =
i∈I
v i ⊗ γ i ,
où les γ i appartiennent à Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ). Alors I
˜
G (ξ
˜
G (γ, B, H), f )
est faiblement équivalent à
i∈I
v i (H)I
˜
G (γ i , f ).
Donc la classe d’équivalence faible de cette somme est bien déterminée. Par définition de la base (v i ) i∈I , cela entraîne que les coefficients I
˜
G (γ i , f ) sont bien
déterminés. Cela étant vrai pour tout f , les distributions γ i sont uniquement déterminées. Donc ξ
˜
G (γ, B) est uniquement déterminé, ce qui prouve l’unicité.
Preuve de l’existence. Par linéarité, il suffit de traiter le cas où γ est l’intégrale
orbitale associée à un élément γ ∈ ˜
M (R) de partie semi-simple dans O et à une
mesure de Haar sur M γ (R). Pour deux espaces de Levi ˜
L et ˜
L
tels que ˜
M ⊂ ˜
L ⊂
˜
L
, on sait définir la fonction H → r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H), B) pour un point H en position
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Remarques.
(1) Comme souvent, il est implicite que les fonctions ξ
˜
L (B) intervenant pour
˜
L = ˜
G ont été déterminées par récurrence par le même énoncé appliqué en
remplaçant ˜
G par ˜
L.
(2) Pour ˜
M = ˜
G, on a V
M
M = C. L’application ξ
˜
M (B) est l’identité.
Preuve de l’unicité. On peut supposer par récurrence que les ξ
˜
L sont déterminés
pour ˜
L = ˜
G. Pour un tel ˜
L, la classe d’équivalence faible de la fonction
H → I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
est bien déterminée. En effet, ξ
˜
L (γ, B, H
L ) est uniquement déterminée modulo
une combinaison linéaire de fonctions H → u(H
L )γ ˜
L , où u ∈ V
L
0,M et γ ˜
L ∈
D orb (O
˜
L ) ⊗ Mes(L(R))
∗ . Or, pour de telles données, la relation 2.4(5) (qui est
vérifiée dans notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure) entraîne que la
fonction
H → u(H
L )I
˜
G
˜
L
(exp(H L )γ ˜
L , f )
est faiblement équivalente à 0. Alors la formule de l’énoncé détermine la classe
d’équivalence faible de la fonction
H → I
˜
G (ξ
˜
G (γ, B, H), f ).
Fixons une base (v i ) i∈I d’un supplémentaire de V
G
0,M dans V
G
M . On peut relever
ξ
˜
G (γ, B) de façon unique en un terme
ξ
˜
G (γ, B) =
i∈I
v i ⊗ γ i ,
où les γ i appartiennent à Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ). Alors I
˜
G (ξ
˜
G (γ, B, H), f )
est faiblement équivalent à
i∈I
v i (H)I
˜
G (γ i , f ).
Donc la classe d’équivalence faible de cette somme est bien déterminée. Par définition de la base (v i ) i∈I , cela entraîne que les coefficients I
˜
G (γ i , f ) sont bien
déterminés. Cela étant vrai pour tout f , les distributions γ i sont uniquement déterminées. Donc ξ
˜
G (γ, B) est uniquement déterminé, ce qui prouve l’unicité.
Preuve de l’existence. Par linéarité, il suffit de traiter le cas où γ est l’intégrale
orbitale associée à un élément γ ∈ ˜
M (R) de partie semi-simple dans O et à une
mesure de Haar sur M γ (R). Pour deux espaces de Levi ˜
L et ˜
L
tels que ˜
M ⊂ ˜
L ⊂
˜
L
, on sait définir la fonction H → r
˜
L
˜
L
(γ, exp(H), B) pour un point H en position