V.6. Un résultat d’approximation
565
0 dans A M . On dit qu’il est faiblement équivalent à 0 s’il existe r > 0 et si, pour
tout domaine adéquat, il existe C > 0 tel que |u(H)| ≤ C||H||
r pour tout H dans
le domaine et assez proche de 0. On dit que deux germes u et u
sont faiblement
équivalents si et seulement si u − u
est faiblement équivalent à 0.
Remarque. Ces définitions dépendent de G mais cela ne nous gênera pas.
Une fonction dans V
G
M peut être faiblement équivalente à 0. On note V
G
0,M
le sous-espace des éléments de V
G
M qui sont faiblement équivalents à 0 et on pose
V
G
M = V
G
M /V
G
0,M . Remarquons que, si u est une fonction définie presque partout
sur A M qui est faiblement équivalente à 0 et si v ∈ V
˜
G
˜
M
, alors uv est faiblement
équivalente à 0 : le produit d’une fonction à croissance logarithmique et d’une
fonction décroissante en ||H||
r est décroissante en ||H||
r− pour tout > 0.
V.6.2 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes
On note Ind
˜
G
˜
M
l’homomorphisme d’induction
D orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗
γ
→
γ
˜
G
.
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples par M (R) dans
˜
M (R). Considérons un élément
ζ ∈ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ ).
Relevons-le en un élément ζ ∈ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗ ). On peut
l’évaluer en un point H ∈ U
G
M , on obtient un élément ζ(H) ∈ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ ). La fonction H → ζ(H) ne dépend du choix du relèvement ζ qu’à
faible équivalence près (en un sens similaire à celui du paragraphe précédent).
Une telle équivalence importera peu, on notera donc simplement H → ζ(H) cette
fonction. On rappelle que, si γ ∈ D orb (O) et a ∈ A M (R), on peut définir la
distribution aγ. Sa valeur sur une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) est égale à la valeur
de γ sur la fonction
a ϕ, où
a ϕ(δ) = ϕ(aδ) pour tout δ ∈ ˜
M (R). Fixons désormais
un système de fonctions B sur ˜
G(R).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G (B) : D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )
tel que, pour tout γ ∈ D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R) ⊗ Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).
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0 dans A M . On dit qu’il est faiblement équivalent à 0 s’il existe r > 0 et si, pour
tout domaine adéquat, il existe C > 0 tel que |u(H)| ≤ C||H||
r pour tout H dans
le domaine et assez proche de 0. On dit que deux germes u et u
sont faiblement
équivalents si et seulement si u − u
est faiblement équivalent à 0.
Remarque. Ces définitions dépendent de G mais cela ne nous gênera pas.
Une fonction dans V
G
M peut être faiblement équivalente à 0. On note V
G
0,M
le sous-espace des éléments de V
G
M qui sont faiblement équivalents à 0 et on pose
V
G
M = V
G
M /V
G
0,M . Remarquons que, si u est une fonction définie presque partout
sur A M qui est faiblement équivalente à 0 et si v ∈ V
˜
G
˜
M
, alors uv est faiblement
équivalente à 0 : le produit d’une fonction à croissance logarithmique et d’une
fonction décroissante en ||H||
r est décroissante en ||H||
r− pour tout > 0.
V.6.2 Approximation des intégrales orbitales pondérées invariantes
On note Ind
˜
G
˜
M
l’homomorphisme d’induction
D orb ( ˜
M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D orb ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗
γ
→
γ
˜
G
.
On fixe une réunion finie O de classes de conjugaison semi-simples par M (R) dans
˜
M (R). Considérons un élément
ζ ∈ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ ).
Relevons-le en un élément ζ ∈ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗ ). On peut
l’évaluer en un point H ∈ U
G
M , on obtient un élément ζ(H) ∈ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ ). La fonction H → ζ(H) ne dépend du choix du relèvement ζ qu’à
faible équivalence près (en un sens similaire à celui du paragraphe précédent).
Une telle équivalence importera peu, on notera donc simplement H → ζ(H) cette
fonction. On rappelle que, si γ ∈ D orb (O) et a ∈ A M (R), on peut définir la
distribution aγ. Sa valeur sur une fonction ϕ ∈ C
∞
c ( ˜
M (R)) est égale à la valeur
de γ sur la fonction
a ϕ, où
a ϕ(δ) = ϕ(aδ) pour tout δ ∈ ˜
M (R). Fixons désormais
un système de fonctions B sur ˜
G(R).
Proposition. Il existe un unique homomorphisme
ξ
˜
G (B) : D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ V
G
M ⊗ Ind
˜
G
˜
M
(D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )
tel que, pour tout γ ∈ D orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ C
∞
c ( ˜
G(R) ⊗ Mes(G(R)),
le germe de la fonction définie presque partout sur A M qui, à H ∈ A M , associe
˜
L∈L( ˜
M
I
˜
G
˜
L
(exp(H L )ξ
˜
L (γ, B, H
L ), f )
soit faiblement équivalent au germe constant de valeur I
˜
G
˜
M
(γ, B, f ).