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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
du Levi M η de G η . Autrement dit, il se déduit de G 1 et du groupe endoscopique
«maximal» de M 1 . Les groupes endoscopiques de G 1 étant bien connus, on voit
que les propriétés suivantes sont vérifiées :
– ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est produit de triplets équivalents à des triplets quasiélémentaires (G 1,i , G 2,i , j ∗i ), pour i = 1, . . . , m, qui sont de l’un des types (1),
(2) ou (3) de [III] 6.1 ; le Levi ¯
M
M 1 de ¯
G
(¯ s) détermine pour chaque i
un Levi M 1,i de G 1,i ;
– si un triplet (G 1,i , G 2,i , j ∗i ) est de type (2), resp. (3), les racines dans M 1,i
sont longues, resp. courtes ;
– si ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est différent de (G 1 , G 2 , j ∗ ), on a pour tout i l’inégalité N
max (G 1,i , G 2,i , j ∗i ) < N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ).
Les deux premières propriétés impliquent que le triplet
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ )
vérifie les conditions de 5.1. On voit qu’alors, l’hypothèse (2) de [III] 7.1 équivaut
au lemme 5.1. La dernière propriété ci-dessus et nos hypothèses de récurrence
assurent que ce lemme est vérifié pour les triplets ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) différents
de (G 1 , G 2 , j ∗ ). La démonstration de [III] 7.7 s’applique donc bien. Cela achève la
preuve.
V.6 Un résultat d’approximation
V.6.1 Un espace de germes de fonctions
Dans toute la section, (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M
un espace de Levi de ˜
G. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Une racine α ∈ Σ
G (A M ) (considérée
comme une forme linéaire sur A M ), se décompose en α L + α
L , où α L ∈ A
∗
L et
α
L
∈ A
L,∗ . Notons V
G
M l’ensemble des formes linéaires non nulles sur A M qui sont
de la forme α L , avec ˜
L ∈ L( ˜
M ) et α ∈ Σ
G (A M ). On note U
G
M le sous-ensemble
des H ∈ A M tels que α(H) = 0 pour tout α ∈ V
G
M . C’est le complémentaire dans
A M d’un ensemble fini d’hyperplans. Notons V
G
M l’espace des fonctions sur U
G
M ,
qui sont combinaisons linéaires de fonctions
H →
i=1,...,n
log(| exp(r i α i (H)) − exp(−r i α i (H))| R )
où les α i appartiennent à V
G
M et les r i sont des réels non nuls. On considère les
éléments de V
G
M comme des fonctions définies presque partout sur A M . Remarquons que ces fonctions sont invariantes par translations par A G . On peut aussi
bien considérer qu’elles sont définies sur A
G
M .
Appelons domaine adéquat dans A M l’intersection d’un voisinage ouvert de 0
dans A M avec l’ensemble des H ∈ A M qui vérifient la condition |α(H)| R > c||H||
pour tout α ∈ V
G
M , où c > 0 est un réel fixé (on note ici ||.|| la norme euclidienne
fixée sur A M ). Soit u un germe de fonction défini presque partout au voisinage de
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
du Levi M η de G η . Autrement dit, il se déduit de G 1 et du groupe endoscopique
«maximal» de M 1 . Les groupes endoscopiques de G 1 étant bien connus, on voit
que les propriétés suivantes sont vérifiées :
– ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est produit de triplets équivalents à des triplets quasiélémentaires (G 1,i , G 2,i , j ∗i ), pour i = 1, . . . , m, qui sont de l’un des types (1),
(2) ou (3) de [III] 6.1 ; le Levi ¯
M
M 1 de ¯
G
(¯ s) détermine pour chaque i
un Levi M 1,i de G 1,i ;
– si un triplet (G 1,i , G 2,i , j ∗i ) est de type (2), resp. (3), les racines dans M 1,i
sont longues, resp. courtes ;
– si ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) est différent de (G 1 , G 2 , j ∗ ), on a pour tout i l’inégalité N
max (G 1,i , G 2,i , j ∗i ) < N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ).
Les deux premières propriétés impliquent que le triplet
( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ )
vérifie les conditions de 5.1. On voit qu’alors, l’hypothèse (2) de [III] 7.1 équivaut
au lemme 5.1. La dernière propriété ci-dessus et nos hypothèses de récurrence
assurent que ce lemme est vérifié pour les triplets ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) différents
de (G 1 , G 2 , j ∗ ). La démonstration de [III] 7.7 s’applique donc bien. Cela achève la
preuve.
V.6 Un résultat d’approximation
V.6.1 Un espace de germes de fonctions
Dans toute la section, (G, ˜
G, a) est quasi-déployé et à torsion intérieure. Soit ˜
M
un espace de Levi de ˜
G. Soit ˜
L ∈ L( ˜
M ). Une racine α ∈ Σ
G (A M ) (considérée
comme une forme linéaire sur A M ), se décompose en α L + α
L , où α L ∈ A
∗
L et
α
L
∈ A
L,∗ . Notons V
G
M l’ensemble des formes linéaires non nulles sur A M qui sont
de la forme α L , avec ˜
L ∈ L( ˜
M ) et α ∈ Σ
G (A M ). On note U
G
M le sous-ensemble
des H ∈ A M tels que α(H) = 0 pour tout α ∈ V
G
M . C’est le complémentaire dans
A M d’un ensemble fini d’hyperplans. Notons V
G
M l’espace des fonctions sur U
G
M ,
qui sont combinaisons linéaires de fonctions
H →
i=1,...,n
log(| exp(r i α i (H)) − exp(−r i α i (H))| R )
où les α i appartiennent à V
G
M et les r i sont des réels non nuls. On considère les
éléments de V
G
M comme des fonctions définies presque partout sur A M . Remarquons que ces fonctions sont invariantes par translations par A G . On peut aussi
bien considérer qu’elles sont définies sur A
G
M .
Appelons domaine adéquat dans A M l’intersection d’un voisinage ouvert de 0
dans A M avec l’ensemble des H ∈ A M qui vérifient la condition |α(H)| R > c||H||
pour tout α ∈ V
G
M , où c > 0 est un réel fixé (on note ici ||.|| la norme euclidienne
fixée sur A M ). Soit u un germe de fonction défini presque partout au voisinage de