V.5. Extension des définitions, cas général
563
On introduit les données endoscopiques maximales G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W R , ˆ
θ)
de (KG, K ˜
G, a) et M
= (M
, ˆ
M ˆ
θ W R , ˆ
θ) de (KM, K ˜
M, a) = (M, ˜
M , a). Remarquons que G
est aussi la donnée G
( ˆ
θ) déduite de M
et de l’élément ˜
s = ˆ
θ.
Comme en [III] 6.2, l’élément η ∈ ˜
G(R) détermine un élément ∈ Z( ˜
G
)
Γ R . Si l’on
remplace les espaces ambiants ˜
G et ˜
G
par ˜
M et ˜
M
, on obtient évidemment le
même élément . On fixe un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η), où B
M = B ∩ M .
Remarquons que G 2 = G
= G
et M 2 = M
= M
.
Comme d’habitude, on néglige les espaces de mesures. On dispose d’éléments
δ 1 et δ 2 . On peut identifier δ 2 à un élément de D
st
tr-unip (M
(R)). En fait, d’après
(1), il appartient à D
st
orb,unip (M
(R)). On pose
δ = desc
st,M
,∗
(δ 2 ).
C’est un élément de D
st
orb (O
), où O
est la classe de conjugaison stable de dans
˜
M
(R). Posons τ = transfert(δ). C’est un élément de D g´ eom (O), où O est la classe
de conjugaison stable de η dans ˜
M (R). Montrons que
(3) τ appartient à D orb (O).
Preuve. On a calculé τ à la fin de la preuve de [III] 7.1. Avec les notations de cette
référence, on a
τ =
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (δ 1 ).
Remarquons que l’application ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
qui figure en [III] 7.1 disparaît puisque
les groupes G η[y] sont ici simplement connexes. L’élément δ 1 appartient à D
st
orb (O
),
c’est-à-dire que c’est une combinaison linéaire stable d’intégrales orbitales. L’homomorphisme desc
˜
M,∗
η[y] envoie une combinaison linéaire d’intégrales orbitales sur
une telle combinaison linéaire. En général, les applications transfert y ne vérifient
pas cette propriété. Mais elles les vérifient dans notre cas particulier car ˙
Y
M est
réduit à {1} et transfert 1 est l’identité.
Les éléments J 1 et J 2 du lemme 5.1 déterminent un élément J ∈ J
˜
G
˜
M
. Soit a ∈
A K ˜
M (R) un élément en position générale et proche de 1. D’après (3), on peut définir un élément ρ
K ˜
G
J (τ , a) ∈ D g´ eom (O)/ Ann
K ˜
G
O , où O est la classe de conjugaison
stable de θ
∗ dans K ˜
M (R) = ˜
M (R). On peut aussi définir l’élément ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
du même espace. Nos hypothèses de récurrence posées en 5.1 nous autorisent à
appliquer les résultats de 2.4 : on a l’égalité ρ
K ˜
G
J (τ , a) = ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a). A partir
de cette égalité, la preuve de [III] 7.7 entraîne l’égalité du lemme 5.1. Il faut toutefois vérifier que cette preuve s’applique. En inspectant cette preuve, on voit que
la seule chose à vérifier et que l’hypothèse (2) de [III] 7.1 est vérifiée pour les triplets ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) qui apparaissent et qui sont différents de notre triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) de départ. Pour un tel triplet, le groupe ¯
G
(¯ s) est un groupe endoscopique de G η , déduit de la façon habituelle du groupe endoscopique «maximal»
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On introduit les données endoscopiques maximales G
= (G
, ˆ
G ˆ
θ W R , ˆ
θ)
de (KG, K ˜
G, a) et M
= (M
, ˆ
M ˆ
θ W R , ˆ
θ) de (KM, K ˜
M, a) = (M, ˜
M , a). Remarquons que G
est aussi la donnée G
( ˆ
θ) déduite de M
et de l’élément ˜
s = ˆ
θ.
Comme en [III] 6.2, l’élément η ∈ ˜
G(R) détermine un élément ∈ Z( ˜
G
)
Γ R . Si l’on
remplace les espaces ambiants ˜
G et ˜
G
par ˜
M et ˜
M
, on obtient évidemment le
même élément . On fixe un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η), où B
M = B ∩ M .
Remarquons que G 2 = G
= G
et M 2 = M
= M
.
Comme d’habitude, on néglige les espaces de mesures. On dispose d’éléments
δ 1 et δ 2 . On peut identifier δ 2 à un élément de D
st
tr-unip (M
(R)). En fait, d’après
(1), il appartient à D
st
orb,unip (M
(R)). On pose
δ = desc
st,M
,∗
(δ 2 ).
C’est un élément de D
st
orb (O
), où O
est la classe de conjugaison stable de dans
˜
M
(R). Posons τ = transfert(δ). C’est un élément de D g´ eom (O), où O est la classe
de conjugaison stable de η dans ˜
M (R). Montrons que
(3) τ appartient à D orb (O).
Preuve. On a calculé τ à la fin de la preuve de [III] 7.1. Avec les notations de cette
référence, on a
τ =
y∈ ˙
Y M
c
M [y] desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (δ 1 ).
Remarquons que l’application ι
∗
M η[y],sc ,M η[y]
qui figure en [III] 7.1 disparaît puisque
les groupes G η[y] sont ici simplement connexes. L’élément δ 1 appartient à D
st
orb (O
),
c’est-à-dire que c’est une combinaison linéaire stable d’intégrales orbitales. L’homomorphisme desc
˜
M,∗
η[y] envoie une combinaison linéaire d’intégrales orbitales sur
une telle combinaison linéaire. En général, les applications transfert y ne vérifient
pas cette propriété. Mais elles les vérifient dans notre cas particulier car ˙
Y
M est
réduit à {1} et transfert 1 est l’identité.
Les éléments J 1 et J 2 du lemme 5.1 déterminent un élément J ∈ J
˜
G
˜
M
. Soit a ∈
A K ˜
M (R) un élément en position générale et proche de 1. D’après (3), on peut définir un élément ρ
K ˜
G
J (τ , a) ∈ D g´ eom (O)/ Ann
K ˜
G
O , où O est la classe de conjugaison
stable de θ
∗ dans K ˜
M (R) = ˜
M (R). On peut aussi définir l’élément ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
du même espace. Nos hypothèses de récurrence posées en 5.1 nous autorisent à
appliquer les résultats de 2.4 : on a l’égalité ρ
K ˜
G
J (τ , a) = ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a). A partir
de cette égalité, la preuve de [III] 7.7 entraîne l’égalité du lemme 5.1. Il faut toutefois vérifier que cette preuve s’applique. En inspectant cette preuve, on voit que
la seule chose à vérifier et que l’hypothèse (2) de [III] 7.1 est vérifiée pour les triplets ( ¯
G
(¯ s) SC , G
(˜ s) ,SC , j ∗ ) qui apparaissent et qui sont différents de notre triplet
(G 1 , G 2 , j ∗ ) de départ. Pour un tel triplet, le groupe ¯
G
(¯ s) est un groupe endoscopique de G η , déduit de la façon habituelle du groupe endoscopique «maximal»