562
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
GL(n k ) × GL(1) × GL(1) tels que det(x 1 ) · · · det(x k )x k+1 t
2 = 1. Mais on peut
faire disparaître l’élément x k+1 et M est simplement isomorphe GL(n 1 ) × · · · ×
GL(n k ) × GL(1).
(c) Les objets sont déduits par restriction des scalaires de C à R des objets
du cas (a) définis sur C.
(d) Les objets sont déduits par restriction des scalaires de C à R des objets
du cas (b) définis sur C.
On doit inclure le triplet (G, ˜
G, a) dans un K-triplet (KG, K ˜
G, a). L’espace
de Levi ˜
M s’étend en un K-espace de Levi K ˜
M . On a en fait K ˜
M = ˜
M . En effet,
on sait que K ˜
M est lui-même un K-espace. D’après la définition de [I] 1.11, ce
K-espace est réduit à une seule composante connexe pouvu que H
1 (Γ R ; M SC ) soit
trivial. C’est le cas d’après la description ci-dessus : le groupe M SC est produit
de groupes SL(m) ou de groupes déduits par restriction des scalaires de SL(m)
sur C. Comme en [III] 5.1, on note Y
M l’ensemble des y ∈ M tels que yσ(y)
−1
∈
I
M
η . Rappelons que, parce que G est simplement connexe, Z G (η) est connexe et
cette propriété perdure lorsqu’on passe à un Levi. Il en résulte que I
M
η = M η .
Considérons l’ensemble de doubles classes
M η \Y
M /M (R).
Montrons que
(2) cet ensemble de doubles classes est réduit à un élément.
Preuve. On sait que cet ensemble est en bijection avec le noyau de l’application
H
1 (Γ R ; M η ) → H
1 (Γ R , M).
Il suffit de prouver que H
1 (Γ R ; M η ) = {1}. Rappelons que M η = M 1 . Dans les
cas (c) et (d), le groupe M 1 est complexe et H
1 (Γ R ; M 1 ) = {1}. Dans le cas (a),
M 1 est un produit de groupes GL(m), d’où la même conclusion. Dans le cas (b),
posons L = GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ). On a une suite exacte
1 → {±1} → M 1 → L → 1
D’où une suite exacte
M 1 (R) → L(R) → H
1 (Γ R ; {±1}) → H
1 (Γ R ; M 1 ) → H
1 (Γ R ; L) = {1}
Puisque H
1 (Γ R ; {±1}) a deux éléments, il suffit de prouver que la première application de la suite ci-dessus n’est pas surjective. Mais il résulte de la description de M 1
que cette image est formée des (x 1 , . . . , x k ) ∈ L(R) tels que det(x 1 ) · · · det(x k ) > 0.
Cela prouve (2).
On peut prendre comme ensemble de représentants de notre ensemble de
doubles classes l’ensemble ˙
Y
M = {1}.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
GL(n k ) × GL(1) × GL(1) tels que det(x 1 ) · · · det(x k )x k+1 t
2 = 1. Mais on peut
faire disparaître l’élément x k+1 et M est simplement isomorphe GL(n 1 ) × · · · ×
GL(n k ) × GL(1).
(c) Les objets sont déduits par restriction des scalaires de C à R des objets
du cas (a) définis sur C.
(d) Les objets sont déduits par restriction des scalaires de C à R des objets
du cas (b) définis sur C.
On doit inclure le triplet (G, ˜
G, a) dans un K-triplet (KG, K ˜
G, a). L’espace
de Levi ˜
M s’étend en un K-espace de Levi K ˜
M . On a en fait K ˜
M = ˜
M . En effet,
on sait que K ˜
M est lui-même un K-espace. D’après la définition de [I] 1.11, ce
K-espace est réduit à une seule composante connexe pouvu que H
1 (Γ R ; M SC ) soit
trivial. C’est le cas d’après la description ci-dessus : le groupe M SC est produit
de groupes SL(m) ou de groupes déduits par restriction des scalaires de SL(m)
sur C. Comme en [III] 5.1, on note Y
M l’ensemble des y ∈ M tels que yσ(y)
−1
∈
I
M
η . Rappelons que, parce que G est simplement connexe, Z G (η) est connexe et
cette propriété perdure lorsqu’on passe à un Levi. Il en résulte que I
M
η = M η .
Considérons l’ensemble de doubles classes
M η \Y
M /M (R).
Montrons que
(2) cet ensemble de doubles classes est réduit à un élément.
Preuve. On sait que cet ensemble est en bijection avec le noyau de l’application
H
1 (Γ R ; M η ) → H
1 (Γ R , M).
Il suffit de prouver que H
1 (Γ R ; M η ) = {1}. Rappelons que M η = M 1 . Dans les
cas (c) et (d), le groupe M 1 est complexe et H
1 (Γ R ; M 1 ) = {1}. Dans le cas (a),
M 1 est un produit de groupes GL(m), d’où la même conclusion. Dans le cas (b),
posons L = GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ). On a une suite exacte
1 → {±1} → M 1 → L → 1
D’où une suite exacte
M 1 (R) → L(R) → H
1 (Γ R ; {±1}) → H
1 (Γ R ; M 1 ) → H
1 (Γ R ; L) = {1}
Puisque H
1 (Γ R ; {±1}) a deux éléments, il suffit de prouver que la première application de la suite ci-dessus n’est pas surjective. Mais il résulte de la description de M 1
que cette image est formée des (x 1 , . . . , x k ) ∈ L(R) tels que det(x 1 ) · · · det(x k ) > 0.
Cela prouve (2).
On peut prendre comme ensemble de représentants de notre ensemble de
doubles classes l’ensemble ˙
Y
M = {1}.