V.5. Extension des définitions, cas général
561
En utilisant le chemin sud-ouest, on obtient
[Z( ˆ
G
)
Γ R : ˆ
Z]e
˜
G
˜
M ()
−1
|Z( ˆ
H)
Γ R |(c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 )
−1 .
En utilisant la définition de [III] 1.2, on voit que |Z( ˆ
H)
Γ R | = (i
G
,SC
Js
)
−1 . L’assertion
(8) résulte alors de la définition de C
. Cela achève la preuve.
V.5.7 Preuve du lemme 5.1
On considère un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) muni de diverses données comme en 5.1. Grâce
à 5.1(9), on suppose de plus que notre triplet est quasi-élémentaire, que la condition
5.1(8) est vérifiée et que B 1 est constante de valeur 1. Comme on l’a remarqué en
5.1, la condition 5.1(8) implique que le revêtement simplement connexe commun
M SC des groupes dérivés de M 1 et M 2 est isomorphe à un produit de groupes
SL k (R) si F 0 = R, de groupes SL k (C) si F 0 = C. Soit H un groupe quasi-déployé
tel que H SC soit isomorphe à un produit de groupes SL k (R) ou SL k (C). On a
(1) D
st
tr-unip (H(R)) = D
st
orb,unip (H(R)).
Preuve. Le lemme 3.3 nous ramène au cas H = H SC . Il suffit donc de traiter
les cas H = SL k (R) ou H = SL k (C). Le même lemme nous ramène aux cas
H = GL k (R) ou H = GL k (C). Mais alors, ces groupes n’ont pas de données
endoscopiques elliptiques autres que la donnée «maximale» H. La définition de
2.1 montre que D tr-orb (H(R)) = D orb (H(R)) et l’assertion s’ensuit.
Reprenons la preuve de [III] 7.7. On introduit le triplet (G, ˜
G, a) associé à
(G 1 , G 2 , j ∗ ) comme en [III] 6.2. On fixe un élément η ∈ ˜
G(R) qui conserve une
paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G définie sur R. De cette paire se
déduit une paire de Borel épinglée de G η définie sur R. On peut identifier G 1 à G η
de sorte que le Levi M 1 de G 1 devienne un Levi de G η standard pour cette paire.
On note ˜
M le commutant de A M1 dans ˜
G. On a η ∈ ˜
M (R), M η = M 1 et M est
standard pour E. Décrivons plus concrètement ces objets. Il y a quatre cas.
(a) G 1 = Sp(2n) et M 1 est un Levi isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ),
avec n 1 + · · · + n k = n. Dans ce cas, G = SL(2n) et ad η est l’automorphisme
extérieur habituel de ce groupe. On vérifie que M est le Levi standard de G de
blocs n 1 × · · · × n k × n k × · · · × n 1 .
(b) G 1 = Spin(2n + 1) et M 1 est l’image réciproque dans ce groupe d’un
Levi de SO(2n + 1) isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ), avec n 1 + · · · + n k = n.
Précisément, M 1 est isomorphe au groupe des (x 1 , . . . , x k , t) ∈ GL(n 1 ) × · · · ×
GL(n k ) × GL(1) tels que det(x 1 ) · · · det(x k )t
2 = 1. Dans ce cas, G = Spin(2n + 2).
L’action de O(2n + 2) sur SO(2n + 2) se relève en une action sur G et on peut
réaliser ad η comme la conjugaison par une symétrie élémentaire qui est un élément
de O(2n + 2) de déterminant −1. On vérifie que M est l’image réciproque dans G
d’un Levi de SO(2n + 2) isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ) × GL(1). Comme
ci-dessus, M est isomorphe au groupe des (x 1 , . . . , x k , x k+1 , t) ∈ GL(n 1 ) × · · · ×
561
En utilisant le chemin sud-ouest, on obtient
[Z( ˆ
G
)
Γ R : ˆ
Z]e
˜
G
˜
M ()
−1
|Z( ˆ
H)
Γ R |(c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 )
−1 .
En utilisant la définition de [III] 1.2, on voit que |Z( ˆ
H)
Γ R | = (i
G
,SC
Js
)
−1 . L’assertion
(8) résulte alors de la définition de C
. Cela achève la preuve.
V.5.7 Preuve du lemme 5.1
On considère un triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) muni de diverses données comme en 5.1. Grâce
à 5.1(9), on suppose de plus que notre triplet est quasi-élémentaire, que la condition
5.1(8) est vérifiée et que B 1 est constante de valeur 1. Comme on l’a remarqué en
5.1, la condition 5.1(8) implique que le revêtement simplement connexe commun
M SC des groupes dérivés de M 1 et M 2 est isomorphe à un produit de groupes
SL k (R) si F 0 = R, de groupes SL k (C) si F 0 = C. Soit H un groupe quasi-déployé
tel que H SC soit isomorphe à un produit de groupes SL k (R) ou SL k (C). On a
(1) D
st
tr-unip (H(R)) = D
st
orb,unip (H(R)).
Preuve. Le lemme 3.3 nous ramène au cas H = H SC . Il suffit donc de traiter
les cas H = SL k (R) ou H = SL k (C). Le même lemme nous ramène aux cas
H = GL k (R) ou H = GL k (C). Mais alors, ces groupes n’ont pas de données
endoscopiques elliptiques autres que la donnée «maximale» H. La définition de
2.1 montre que D tr-orb (H(R)) = D orb (H(R)) et l’assertion s’ensuit.
Reprenons la preuve de [III] 7.7. On introduit le triplet (G, ˜
G, a) associé à
(G 1 , G 2 , j ∗ ) comme en [III] 6.2. On fixe un élément η ∈ ˜
G(R) qui conserve une
paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G définie sur R. De cette paire se
déduit une paire de Borel épinglée de G η définie sur R. On peut identifier G 1 à G η
de sorte que le Levi M 1 de G 1 devienne un Levi de G η standard pour cette paire.
On note ˜
M le commutant de A M1 dans ˜
G. On a η ∈ ˜
M (R), M η = M 1 et M est
standard pour E. Décrivons plus concrètement ces objets. Il y a quatre cas.
(a) G 1 = Sp(2n) et M 1 est un Levi isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ),
avec n 1 + · · · + n k = n. Dans ce cas, G = SL(2n) et ad η est l’automorphisme
extérieur habituel de ce groupe. On vérifie que M est le Levi standard de G de
blocs n 1 × · · · × n k × n k × · · · × n 1 .
(b) G 1 = Spin(2n + 1) et M 1 est l’image réciproque dans ce groupe d’un
Levi de SO(2n + 1) isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ), avec n 1 + · · · + n k = n.
Précisément, M 1 est isomorphe au groupe des (x 1 , . . . , x k , t) ∈ GL(n 1 ) × · · · ×
GL(n k ) × GL(1) tels que det(x 1 ) · · · det(x k )t
2 = 1. Dans ce cas, G = Spin(2n + 2).
L’action de O(2n + 2) sur SO(2n + 2) se relève en une action sur G et on peut
réaliser ad η comme la conjugaison par une symétrie élémentaire qui est un élément
de O(2n + 2) de déterminant −1. On vérifie que M est l’image réciproque dans G
d’un Levi de SO(2n + 2) isomorphe à GL(n 1 ) × · · · × GL(n k ) × GL(1). Comme
ci-dessus, M est isomorphe au groupe des (x 1 , . . . , x k , x k+1 , t) ∈ GL(n 1 ) × · · · ×