560
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Comme on l’a vu en 5.1, on a un diagramme commutatif
D
st
unip (M ,SC (R))
D
st
unip (M
1 (R))
→
D
st
unip (M
2 (R)) .
D’après le corollaire 3.6(ii), l’élément σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ) provient d’un élément τ ∈
D
st
unip (M ,SC (R)). Donc τ s’envoie sur c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 σ
G
2
Jt (δ
2 , a
2 ). Pour démontrer (6) et
le lemme 5.5, il reste à prouver l’égalité
(8)
c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 = C
.
Puisque b prend pour valeurs 1 et 1/2, j
−1
∗ envoie le Z-module engendré par
ˇ
Σ
G
2 (T
2 ) dans le Z-module engendré par ˇ
Σ
G
1 (T
1 ). Puisque les groupes G
1 et G
2
sont simplement connexes, l’homomorphisme j
−1
∗ se relève en un homomorphisme
T
2
→ T
1 . Dualement, on a un homomorphisme ˆ
T
1
→ ˆ
T
2 . Il se restreint en un
homomorphisme
ˆ j : Z( ˆ
M
1 )
Γ R → Z( ˆ
M
2 )
Γ R .
En se reportant à la définition de [III] 6.3, on vérifie l’égalité c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 = | ker( ˆ j)|
−1 .
Notons ˆ
M
,ad le dual du groupe M
,sc introduit plus haut. Notons aussi ˆ
H le dual
de (G
,SC ) Js . Alors ˆ
M
1 = ˆ
M
,ad /Z( ˆ
H). Considérons le diagramme commutatif
Z( ˆ
M
)
Γ R / ˆ
Z
=
Z( ˆ
M
)
Γ R / ˆ
Z
↓
↓
Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
)
Γ R
Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
J )
Γ R
↓
↓
Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
)
Γ R
Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
J,, )
Γ R
Z( ˆ
M
,ad )
Γ R
↓
↓
Z( ˆ
M
,ad )
Γ R /Z( ˆ
H)
Γ R
Z( ˆ
M
1 )
Γ R
ˆ j
→
Z( ˆ
M
2 )
Γ R .
Toutes les flèches sont surjectives et à noyaux finis. Calculons le nombre d’éléments
du noyau de l’application composée
Z( ˆ
M
)
Γ R / ˆ
Z → Z( ˆ
M
2 )
Γ R .
En utilisant le chemin nord-est du diagramme, et en appliquant la définition de
[III] 4.3, on obtient
[Z( ˆ
G
J )
Γ R : ˆ
Z]e
˜
G
J
˜
M ()
−1 .