V.5. Extension des définitions, cas général
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existe une composante de l’un des types (e), (f), (g) ci-dessus de sorte que G
2
i soit
une composante irréductible (sur R) d’un groupe issu par le même procédé que
G
2 à partir de cette composante. Comme plus haut, l’assertion à prouver pour
les données indexées par i est claire si b i est constante. Par construction de la
fonction b, la fonction b i est constante sauf si la composante en question contient
des racines de type 1 provenant de racines de type 3 dans G. Les racines de type
3 dans G sont celles qui sont fixées par θ. Une telle racine n’intervient pas dans
une composante de type (g). Elle peut intervenir dans une composante de type
(e), mais alors elle y est encore de type 3. Il reste les composantes de type (f).
Supposons que G
2
i soit issu d’une telle composante. Les racines de type 1 de
cette composante provenant de racines de type 3 dans G sont exactement celles qui
sont fixées par θ. Par endoscopie tordue, on crée des groupes de systèmes de racines
de type B p × D q × A r1 ×· · ·×A r k . En passant à un commutant, les types D q ou A r
ne créent que des systèmes de même type. Or, d’après la classification des données
endoscopiques non standard élémentaires, cf. [III] 6.1, de tels types ne peuvent
intervenir que dans des données élémentaires «triviales». On obtient la conclusion
pour notre triplet (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) sauf si celui-ci provient d’une composante B p cidessus. En passant à un commutant dans une telle composante, on obtient un
groupe de même type que ci-dessus, c’est-à-dire B p × D q × A r
1
× · · · × A r
k
. Par
le même argument de classification, on obtient la conclusion pour notre triplet
(G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) sauf si le système de racines de G
2
i est la composante B p .
Supposons qu’il en soit ainsi. On vérifie aisément que les racines de A 2n +1
fixées par θ créent des racines courtes dans la composante B p . Cela passe à la
composante B p ci-dessus. Il en résulte que les racines de G
2
i sur lesquelles b ne
vaut pas 1 sont les racines courtes de G
2
i . Sur celles-ci, b vaut 1/2. Puisque b vaut
1 sur les racines dans M
2
i , ce groupe ne contient pas de racines courtes. D’autre
part, d’après la classification de [III] 6.1, ou bien le triplet (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) est trivial,
ou bien G
1
i est de type C p (la première possibilité est d’ailleurs exclue sauf si
p
= 1 puisque, d’après la description ci-dessus, b n’est pas constante si p
> 1).
Cela montre que les données indexées par i vérifient les hypothèses de 5.1.
Par ailleurs, il résulte des définitions que N
max (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) = 4(p
)
2
− 1.
On a nécessairement p
≤ n
(où n
est l’entier associé à la composante de type
(f) fixée). On a aussi n
≤ n. Puisque dim(G SC ) = (2n + 1)
2
− 1, on en déduit
l’inégalité N
max (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) < dim(G SC ). Cela vérifie (7).
Remarquons que, dans l’égalité (6), les faits que les points a
1 et a
2 soient
proches de 1 et que j ∗ : t
1
→ t
2 soit l’identité (ces espaces étant vus comme
sous-espaces de t
) entraînent que l’on peut identifier ces deux points a
1 et a
2 . Ou
encore, avec les notations du lemme 5.1, on a a
1 = exp(X) et a
2 = exp(j ∗ (X)),
pour un X ∈ a M 1 (R). D’après (7), on peut appliquer ce lemme 5.1. Celui-ci nous
dit que σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ) s’envoie sur c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 σ
G
2
Jt (δ
2 , a
2 ) par la correspondance
D
st
unip (M
1 (R))/ Ann
G
1 ,st
unip D
st
unip (M
2 (R))/ Ann
G
2 ,st
unip .
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existe une composante de l’un des types (e), (f), (g) ci-dessus de sorte que G
2
i soit
une composante irréductible (sur R) d’un groupe issu par le même procédé que
G
2 à partir de cette composante. Comme plus haut, l’assertion à prouver pour
les données indexées par i est claire si b i est constante. Par construction de la
fonction b, la fonction b i est constante sauf si la composante en question contient
des racines de type 1 provenant de racines de type 3 dans G. Les racines de type
3 dans G sont celles qui sont fixées par θ. Une telle racine n’intervient pas dans
une composante de type (g). Elle peut intervenir dans une composante de type
(e), mais alors elle y est encore de type 3. Il reste les composantes de type (f).
Supposons que G
2
i soit issu d’une telle composante. Les racines de type 1 de
cette composante provenant de racines de type 3 dans G sont exactement celles qui
sont fixées par θ. Par endoscopie tordue, on crée des groupes de systèmes de racines
de type B p × D q × A r1 ×· · ·×A r k . En passant à un commutant, les types D q ou A r
ne créent que des systèmes de même type. Or, d’après la classification des données
endoscopiques non standard élémentaires, cf. [III] 6.1, de tels types ne peuvent
intervenir que dans des données élémentaires «triviales». On obtient la conclusion
pour notre triplet (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) sauf si celui-ci provient d’une composante B p cidessus. En passant à un commutant dans une telle composante, on obtient un
groupe de même type que ci-dessus, c’est-à-dire B p × D q × A r
1
× · · · × A r
k
. Par
le même argument de classification, on obtient la conclusion pour notre triplet
(G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) sauf si le système de racines de G
2
i est la composante B p .
Supposons qu’il en soit ainsi. On vérifie aisément que les racines de A 2n +1
fixées par θ créent des racines courtes dans la composante B p . Cela passe à la
composante B p ci-dessus. Il en résulte que les racines de G
2
i sur lesquelles b ne
vaut pas 1 sont les racines courtes de G
2
i . Sur celles-ci, b vaut 1/2. Puisque b vaut
1 sur les racines dans M
2
i , ce groupe ne contient pas de racines courtes. D’autre
part, d’après la classification de [III] 6.1, ou bien le triplet (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) est trivial,
ou bien G
1
i est de type C p (la première possibilité est d’ailleurs exclue sauf si
p
= 1 puisque, d’après la description ci-dessus, b n’est pas constante si p
> 1).
Cela montre que les données indexées par i vérifient les hypothèses de 5.1.
Par ailleurs, il résulte des définitions que N
max (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) = 4(p
)
2
− 1.
On a nécessairement p
≤ n
(où n
est l’entier associé à la composante de type
(f) fixée). On a aussi n
≤ n. Puisque dim(G SC ) = (2n + 1)
2
− 1, on en déduit
l’inégalité N
max (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) < dim(G SC ). Cela vérifie (7).
Remarquons que, dans l’égalité (6), les faits que les points a
1 et a
2 soient
proches de 1 et que j ∗ : t
1
→ t
2 soit l’identité (ces espaces étant vus comme
sous-espaces de t
) entraînent que l’on peut identifier ces deux points a
1 et a
2 . Ou
encore, avec les notations du lemme 5.1, on a a
1 = exp(X) et a
2 = exp(j ∗ (X)),
pour un X ∈ a M 1 (R). D’après (7), on peut appliquer ce lemme 5.1. Celui-ci nous
dit que σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ) s’envoie sur c
G
1 ,G
2
M 1 ,M 2 σ
G
2
Jt (δ
2 , a
2 ) par la correspondance
D
st
unip (M
1 (R))/ Ann
G
1 ,st
unip D
st
unip (M
2 (R))/ Ann
G
2 ,st
unip .