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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
formé des b(β 2 )
−1 j
∗ (β 2 ), resp. b(β 2 )j
−1
∗ ( ˇ
β 2 ), pour β 2 ∈ Σ
G
2 (T
2 ). Cela montre que
(G
1 , G
2 , j ∗ ) est un triplet endoscopique non standard. On a une fonction B sur
Σ
G
1 (T
1 ) et une fonction B J sur Σ
G
2 (T
2 ). En reprenant les formules de 5.5, on voit
que ces fonctions sont reliées comme en [III] 6.3. C’est-à-dire, soit β 2 ∈ Σ
G
2 (T
2 ),
notons β 1 = b(β 2 )
−1 j
∗ (β 2 ) l’élément de Σ
G
1 (T
1 ) qui lui correspond ; on a alors
B(β 1 ) =
BJ (β2)
b(β2) .
Les sous-ensembles Σ
M
1 (T
1 ) et Σ
M
2 (T
2 ) se décrivent comme ci-dessus, en
remplaçant la condition α ∈ Σ
G (T ) par α ∈ Σ
M (T ). Puisque Σ
M (T ) ⊂ Σ
GJ (T ),
une racine dans Σ
M (T ) est de même type dans G et G J . Cela entraîne que la
fonction b vaut 1 sur Σ
M
2 (T
2 ). Autrement dit, la correspondance endoscopique
non standard se restreint en la correspondance naturelle entre les ensembles de
racines de M
1 et M
2 (celle qui provient de l’identification de ces ensembles de
racines à celui de M ,SC ).
On peut décomposer notre triplet endoscopique non standard en produit
de triplets (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) pour i = 1, . . . , m, chacun d’eux étant équivalent à un
triplet quasi-élémentaire. Les Levi M
1 et M
2 et les tores T
1 et T
2 se décomposent
conformément en produits
i=1,...,m M
1
i etc. . . On note b i la restriction de la
fonction b à Σ
G
2
i (T
2
i ). On va prouver que
(7) pour tout i = 1, . . . , m, les données (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ), M
1
i , M
2
i et b i vérifient les
conditions du lemme 5.1 et on a l’inégalité N
max (G
1
i , G
2
i , j ∗,i ) < dim(G SC ).
Un raisonnement analogue à celui de la preuve du lemme 6.1 de [III] nous
ramène au cas où le groupe G AD est simple. Il y a un cas particulier : celui où G AD
est de type A 2n et où l’action de θ sur ce système est l’automorphisme non trivial.
Hors de ce cas, il n’y a pas de racines de type 3. La définition de b entraîne alors
que cette fonction est constante de valeur 1. Donc j ∗ provient d’un isomorphisme
de G
1 sur G
2 et l’assertion est claire. Considérons le cas particulier ci-dessus : G AD
est de type A 2n et l’action de θ est non triviale. Le groupe G J peut se réaliser
comme intersection de commutants dans G d’éléments de A ˜
M . Dans un groupe
de type A 2n , un tel commutant est de type A n1 × · · · A n h . De plus, le système de
racines de G J est stable par θ. Il en résulte que ce système de racines, muni de
son automorphisme θ, est produit de sous-systèmes de l’un des types suivants
(e) A 2n muni de l’automorphisme non trivial ;
(f) A 2n −1 muni de l’automorphisme non trivial ;
(g) A n × A n muni de la permutation des deux facteurs.
Quant à l’action galoisienne, l’élément non trivial de Γ R ne peut agir sur le
système A 2n que par l’identité ou par θ. Il en résulte que chacun des sous-systèmes
ci-dessus est stable par cette action. Rappelons que le groupe G
2 est déduit de ˜
G J
par la suite d’opérations suivantes : on passe de ˜
G J à un groupe G
J (t ˆ
θ J ), on passe
de celui-ci au commutant G
J (t ˆ
θ) , on passe ensuite au revêtement simplement
connexe. Il est clair que ces opérations se décomposent selon la décomposition cidessus du système de racines de G J . C’est-à-dire que, si on fixe i ∈ {1, . . . , m}, il