V.5. Extension des définitions, cas général
557
δ
1 = ι
∗
M
,SC ,M 1 (δ SC ) et a
1 est est un élément quelconque de A M 1 (R) ayant même
projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R). Posons
C
= C(i
G
,SC
Js
)
−1
et δ
2 = c
−1
δ J,sc = ι
∗
M
,SC ,M 2 (δ SC ). Pour i = 1, 2, on note a
i un élément de
A M i (R) qui a même projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R) = A M (R)/A G
J
(R).
L’assertion (5) résulte de
(6) il existe un élément τ ∈ D
st
unip (M
,SC (R)) dont l’image dans
D
st
unip (M
1 (R))/ Ann
G
1
unip
soit σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ) et dont l’image dans D
st
unip (M
2 (R))/ Ann
G
2
unip soit
C
σ
G
2
Jt (δ
2 , a
2 ).
Dans la preuve de 5.5(5), on a calculé les ensembles de racines Σ
G
i (T
i ) pour
i = 1, 2. On peut de même calculer les ensembles de coracines associés ˇ
Σ
G
i (T
i ),
en utilisant les formules de [79] 3.3. Donnons le résultat. Pour α ∈ Σ
G (T ), notons
ˇ
α
res l’image de ˇ
α ∈ t dans t
par l’application ξ. On obtient que les éléments de
ˇ
Σ
G
1 (T
1 ) sont de la forme c
1 (α)ˇ α
res , où α ∈ Σ
G (T ) est tel que α A ˜
M
∈ R J et
c
1 (α) ∈ Q
× . Les α sont soumis à l’une des conditions suivantes et le terme c
1 (α)
est décrit dans chaque cas :
(a) α de type 1, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1 ;
(b) α de type 2, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1 ;
(c) α de type 3, N α(ν) = −1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1/2 ;
(d) α de type 2, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = −1 ; c
1 (α) = 2.
Une description analogue vaut pour ˇ
Σ
G
2 (T
2 ). Les types 1, 2, 3 sont remplacés par 1 J , 2 J , 3 J , l’élément ν est remplacé par t
−1
J ν et la fonction c
2 est donnée
par les mêmes formules que ci-dessus. En utilisant la relation 5.4(1), on voit que
la seule différence entre les ensembles ˇ
Σ
G
1 (T
1 ) et ˇ
Σ
G
2 (T
2 ) provient des racines
vérifiant (c) et telles que α soit de type 1 J . Dans ce cas, ˇ
Σ
G1 (T
1 ) contient ˇ
α
res /2
tandis que ˇ
Σ
G2 (T
2 ) contient ˇ
α
res . Puisque t
1 et t
2 , vus comme sous-espaces de
t
, sont engendrés par les ensembles de coracines, on en déduit déjà que t
1 = t
2 .
On note j ∗ : t
1
→ t
2 et j
∗ : t
2∗
→ t
1∗ les identités. En reprenant les calculs
de 5.5, on voit que, de même, la seule différence entre les ensembles de racines
Σ
G
1 (T
1 ) et Σ
G
2 (T
2 ) provient des racines vérifiant (c) et telles que α soit de type
1 J . Dans ce cas, Σ
G
1 (T
1 ) contient 2N α tandis que Σ
G
2 (T
2 ) contient N α. On
définit une fonction b : Σ
G
2 (T
2 ) → Q >0 qui vaut 1 sauf sur les racines N α précédentes, pour lesquelles b(N α) = 1/2. On obtient que Σ
G
1 (T
1 ), resp. ˇ
Σ
G
1 (T
1 ), est
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δ
1 = ι
∗
M
,SC ,M 1 (δ SC ) et a
1 est est un élément quelconque de A M 1 (R) ayant même
projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R). Posons
C
= C(i
G
,SC
Js
)
−1
et δ
2 = c
−1
δ J,sc = ι
∗
M
,SC ,M 2 (δ SC ). Pour i = 1, 2, on note a
i un élément de
A M i (R) qui a même projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R) = A M (R)/A G
J
(R).
L’assertion (5) résulte de
(6) il existe un élément τ ∈ D
st
unip (M
,SC (R)) dont l’image dans
D
st
unip (M
1 (R))/ Ann
G
1
unip
soit σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ) et dont l’image dans D
st
unip (M
2 (R))/ Ann
G
2
unip soit
C
σ
G
2
Jt (δ
2 , a
2 ).
Dans la preuve de 5.5(5), on a calculé les ensembles de racines Σ
G
i (T
i ) pour
i = 1, 2. On peut de même calculer les ensembles de coracines associés ˇ
Σ
G
i (T
i ),
en utilisant les formules de [79] 3.3. Donnons le résultat. Pour α ∈ Σ
G (T ), notons
ˇ
α
res l’image de ˇ
α ∈ t dans t
par l’application ξ. On obtient que les éléments de
ˇ
Σ
G
1 (T
1 ) sont de la forme c
1 (α)ˇ α
res , où α ∈ Σ
G (T ) est tel que α A ˜
M
∈ R J et
c
1 (α) ∈ Q
× . Les α sont soumis à l’une des conditions suivantes et le terme c
1 (α)
est décrit dans chaque cas :
(a) α de type 1, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1 ;
(b) α de type 2, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1 ;
(c) α de type 3, N α(ν) = −1, N ˆ
α(s) = 1 ; c
1 (α) = 1/2 ;
(d) α de type 2, N α(ν) = 1, N ˆ
α(s) = −1 ; c
1 (α) = 2.
Une description analogue vaut pour ˇ
Σ
G
2 (T
2 ). Les types 1, 2, 3 sont remplacés par 1 J , 2 J , 3 J , l’élément ν est remplacé par t
−1
J ν et la fonction c
2 est donnée
par les mêmes formules que ci-dessus. En utilisant la relation 5.4(1), on voit que
la seule différence entre les ensembles ˇ
Σ
G
1 (T
1 ) et ˇ
Σ
G
2 (T
2 ) provient des racines
vérifiant (c) et telles que α soit de type 1 J . Dans ce cas, ˇ
Σ
G1 (T
1 ) contient ˇ
α
res /2
tandis que ˇ
Σ
G2 (T
2 ) contient ˇ
α
res . Puisque t
1 et t
2 , vus comme sous-espaces de
t
, sont engendrés par les ensembles de coracines, on en déduit déjà que t
1 = t
2 .
On note j ∗ : t
1
→ t
2 et j
∗ : t
2∗
→ t
1∗ les identités. En reprenant les calculs
de 5.5, on voit que, de même, la seule différence entre les ensembles de racines
Σ
G
1 (T
1 ) et Σ
G
2 (T
2 ) provient des racines vérifiant (c) et telles que α soit de type
1 J . Dans ce cas, Σ
G
1 (T
1 ) contient 2N α tandis que Σ
G
2 (T
2 ) contient N α. On
définit une fonction b : Σ
G
2 (T
2 ) → Q >0 qui vaut 1 sauf sur les racines N α précédentes, pour lesquelles b(N α) = 1/2. On obtient que Σ
G
1 (T
1 ), resp. ˇ
Σ
G
1 (T
1 ), est