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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
celles-ci, le calcul est le même que dans le cas archimédien. On obtient que les
composés des suites (1) et (3) sont proportionnels, la constante de proportionnalité étant la valeur ˜
λ( 1 , , J,1 ). On note simplement c cette valeur. Précisément,
pour τ SC ∈ D
st
unip (M
,SC (R)), l’image de τ SC par (1) est égale à l’image de cτ SC
par (3). D’autre part, dans les suites (2) et (4) interviennent des actions de Ξ
Γ R
sur D
st
unip (M
,SC (R)). Ces actions sont les mêmes d’après [I] 4.8(2). Puisque les
suites (2) et (4) sont injectives, on en déduit l’égalité δ J,SC = cδ SC .
Posons
C = e
˜
G
J
˜
M ()e
˜
G
˜
M ()
−1 [Z( ˆ
G
J )
Γ R : Z( ˆ
G
)
Γ R ]
−1 .
Supposons démontrée l’assertion suivante, où a
et a
J sont comme ci-dessus :
(5) il existe un élément τ ∈ D
st
unip (M
,SC (R)) dont l’image dans
D
st
unip (M
,sc (R))/ Ann
st,G
,SC
unip
soit σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
) et dont l’image dans D
st
unip (M
,J,sc (R))/ Ann
st,G
J,,,SC
unip
soit
l’élément c
−1 Cσ
G
J,,,SC
Jt
(δ J,sc , a
J ).
Fixons un tel τ et notons τ son image dans D
st
g´ eom (M
, O
) par la suite (1).
C’est aussi l’image de cτ par la suite (3). Alors σ
G
Js (δ, ξ(a)) est l’image de e
˜
G
˜
M ()τ
modulo Ann
G
O , tandis que σ
G
J
Jt (δ,ξ(a)) est l’image de C
−1 e
˜
G
J
˜
M ()τ modulo Ann
G
J
O .
Donc transfert(σ
G
Js (δ, ξ(a))), resp. transfert(σ
G
J
Jt (δ, ξ(a))), est l’image de
e
˜
G
˜
M () transfert(τ ), resp. C
−1 e
˜
G
J
˜
M () transfert(τ ),
dans D g´ eom (O)/ Ann
˜
G
O . Compte tenu de la définition de C, cela démontre le
lemme 5.5.
Démontrons (5). Introduisons le groupe (G
,SC ) Js et son revêtement simplement connexe que l’on note simplement G
1 . Notons M
1 l’image réciproque de
M
,sc dans G
1 et T
1 le sous-tore maximal de M
1 qui se projette dans T
. Posons
G
2 = G
J,,,SC , M
2 = M
et notons T
2 le sous-tore maximal de M
2 qui se
projette dans T
. L’homomorphisme
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R))
est le composé de la suite
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M 1
→
D
st
unip (M
1 (R))
ι
∗
M 1 ,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R)).
En utilisant successivement 3.2(3) et le lemme 3.4, on voit que σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
)
est l’image par le deuxième homomorphisme ci-dessus de i
G
,SC
Js
σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ), où
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
celles-ci, le calcul est le même que dans le cas archimédien. On obtient que les
composés des suites (1) et (3) sont proportionnels, la constante de proportionnalité étant la valeur ˜
λ( 1 , , J,1 ). On note simplement c cette valeur. Précisément,
pour τ SC ∈ D
st
unip (M
,SC (R)), l’image de τ SC par (1) est égale à l’image de cτ SC
par (3). D’autre part, dans les suites (2) et (4) interviennent des actions de Ξ
Γ R
sur D
st
unip (M
,SC (R)). Ces actions sont les mêmes d’après [I] 4.8(2). Puisque les
suites (2) et (4) sont injectives, on en déduit l’égalité δ J,SC = cδ SC .
Posons
C = e
˜
G
J
˜
M ()e
˜
G
˜
M ()
−1 [Z( ˆ
G
J )
Γ R : Z( ˆ
G
)
Γ R ]
−1 .
Supposons démontrée l’assertion suivante, où a
et a
J sont comme ci-dessus :
(5) il existe un élément τ ∈ D
st
unip (M
,SC (R)) dont l’image dans
D
st
unip (M
,sc (R))/ Ann
st,G
,SC
unip
soit σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
) et dont l’image dans D
st
unip (M
,J,sc (R))/ Ann
st,G
J,,,SC
unip
soit
l’élément c
−1 Cσ
G
J,,,SC
Jt
(δ J,sc , a
J ).
Fixons un tel τ et notons τ son image dans D
st
g´ eom (M
, O
) par la suite (1).
C’est aussi l’image de cτ par la suite (3). Alors σ
G
Js (δ, ξ(a)) est l’image de e
˜
G
˜
M ()τ
modulo Ann
G
O , tandis que σ
G
J
Jt (δ,ξ(a)) est l’image de C
−1 e
˜
G
J
˜
M ()τ modulo Ann
G
J
O .
Donc transfert(σ
G
Js (δ, ξ(a))), resp. transfert(σ
G
J
Jt (δ, ξ(a))), est l’image de
e
˜
G
˜
M () transfert(τ ), resp. C
−1 e
˜
G
J
˜
M () transfert(τ ),
dans D g´ eom (O)/ Ann
˜
G
O . Compte tenu de la définition de C, cela démontre le
lemme 5.5.
Démontrons (5). Introduisons le groupe (G
,SC ) Js et son revêtement simplement connexe que l’on note simplement G
1 . Notons M
1 l’image réciproque de
M
,sc dans G
1 et T
1 le sous-tore maximal de M
1 qui se projette dans T
. Posons
G
2 = G
J,,,SC , M
2 = M
et notons T
2 le sous-tore maximal de M
2 qui se
projette dans T
. L’homomorphisme
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R))
est le composé de la suite
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M 1
→
D
st
unip (M
1 (R))
ι
∗
M 1 ,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R)).
En utilisant successivement 3.2(3) et le lemme 3.4, on voit que σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
)
est l’image par le deuxième homomorphisme ci-dessus de i
G
,SC
Js
σ
G
1
Js (δ
1 , a
1 ), où