V.5. Extension des définitions, cas général
555
l’élément σ
˜
G
1
Js (δ 1 , a 1 ), où a 1 est un élément quelconque de A M
1
(R) se projetant
sur ξ(a) ∈ A M (R). L’hypothèse (1) de 5.5 permet d’appliquer la relation 4.6 (9) :
σ
˜
G
1
Js (δ 1 , a 1 ) est l’image par desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
de e
˜
G
1
˜
M1
( 1 )σ
G
1,, 1
Js
(δ 1 , a 1 ). Un calcul facile,
cf. [III] 7.1(4), montre que e
˜
G
1
˜
M1
( 1 ) = e
˜
G
˜
M (). D’après le lemme 3.4, σ
G
1,, 1
Js
(δ 1 , a 1 )
est l’image par ι
∗
M
1,, 1 ,sc ,M
1,, 1
de σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
), où a
est un élément quelconque de
A M
,sc
(R) ayant même projection que a 1 dans A M
1
(R)/A G
1
(R), ou encore ayant
même projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R). En résumé, σ
G
Js (δ, ξ(a)) provient
par la suite (1) de l’élément e
˜
G
˜
M ()σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
) ∈ D
st
unip (M
,sc (R))/ Ann
st,G
,SC
unip
.
Des constructions analogues valent pour la donnée G
J . On note cette fois
M
,J,sc l’image réciproque de M
dans G
J,,,SC . De façon analogue à (1), on a une
suite
(3)
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,J,sc
→
D
st
unip (M
(R)) D
st
unip (M
J,1,,J,1,sc (R))
ι
∗
M
J,1,, J,1 ,sc
,M
J,1,, J,1
→
D
st
unip (M
J,1,,J,1 (R))
desc
st, ˜
M 훀
J,1 ,∗
J,1
→
D
st
g´ eom (O
J,1 )
→ D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
On a aussi une suite analogue à (2)
D
st
unip (M
,SC (R))
Ξ
Γ R
ι
∗
M
,SC
,M
,J,sc
→
D
st
unip (M
(R))
Ξ
Γ R
D
st
unip (M
J,1,,J,1,sc (R))
Ξ
Γ R
(4)
ι
∗
M
J,1,, J,1 ,sc
,M
J,1,, J,1
→
D
st
unip (M
J,1,,J,1 (R))
Ξ
Γ R
desc
st, ˜
M
J,1 ,∗
J,1
→
D
st
g´ eom (O
J,1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
L’élément δ se remonte successivement en éléments δ J,1 , δ J,1 , δ J,sc et δ J,SC . Le
même calcul que plus haut montre que σ
G
J
Jt (δ, ξ(a)) provient par la suite (3) de
l’élément e
˜
G
J
˜
M ()i
G
J,,,SC
Jt
σ
G
J,,,SC
Jt
(δ J,sc , a
J ) de D
st
unip (M
(R))/ Ann
st,G
J,,,SC
unip
, où
a
J est un élément quelconque de A M
,J,sc
(R) ayant même projection que ξ(a) dans
A M (R)/A G J (R).
Les composés des suites (1) et (3) ne sont pas égaux. L’isomorphisme composé
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
) D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 )
est donné par la fonction de transition ˜
λ entre les deux séries de données auxiliaires pour M
déduites des données auxiliaires pour G
et pour G
J . En général,
cet isomorphisme est plus difficile à calculer que dans le cas non-archimédien.
Quand des distributions font intervenir des dérivées dans les directions centrales
de M
1 ou M
J,1 , la formule fait intervenir des dérivées de cette fonction de transition. Mais ce n’est pas le cas pour les distributions provenant de M
,SC . Pour
555
l’élément σ
˜
G
1
Js (δ 1 , a 1 ), où a 1 est un élément quelconque de A M
1
(R) se projetant
sur ξ(a) ∈ A M (R). L’hypothèse (1) de 5.5 permet d’appliquer la relation 4.6 (9) :
σ
˜
G
1
Js (δ 1 , a 1 ) est l’image par desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
de e
˜
G
1
˜
M1
( 1 )σ
G
1,, 1
Js
(δ 1 , a 1 ). Un calcul facile,
cf. [III] 7.1(4), montre que e
˜
G
1
˜
M1
( 1 ) = e
˜
G
˜
M (). D’après le lemme 3.4, σ
G
1,, 1
Js
(δ 1 , a 1 )
est l’image par ι
∗
M
1,, 1 ,sc ,M
1,, 1
de σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
), où a
est un élément quelconque de
A M
,sc
(R) ayant même projection que a 1 dans A M
1
(R)/A G
1
(R), ou encore ayant
même projection que ξ(a) dans A M (R)/A G (R). En résumé, σ
G
Js (δ, ξ(a)) provient
par la suite (1) de l’élément e
˜
G
˜
M ()σ
G
,SC
Js
(δ sc , a
) ∈ D
st
unip (M
,sc (R))/ Ann
st,G
,SC
unip
.
Des constructions analogues valent pour la donnée G
J . On note cette fois
M
,J,sc l’image réciproque de M
dans G
J,,,SC . De façon analogue à (1), on a une
suite
(3)
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,J,sc
→
D
st
unip (M
(R)) D
st
unip (M
J,1,,J,1,sc (R))
ι
∗
M
J,1,, J,1 ,sc
,M
J,1,, J,1
→
D
st
unip (M
J,1,,J,1 (R))
desc
st, ˜
M 훀
J,1 ,∗
J,1
→
D
st
g´ eom (O
J,1 )
→ D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
On a aussi une suite analogue à (2)
D
st
unip (M
,SC (R))
Ξ
Γ R
ι
∗
M
,SC
,M
,J,sc
→
D
st
unip (M
(R))
Ξ
Γ R
D
st
unip (M
J,1,,J,1,sc (R))
Ξ
Γ R
(4)
ι
∗
M
J,1,, J,1 ,sc
,M
J,1,, J,1
→
D
st
unip (M
J,1,,J,1 (R))
Ξ
Γ R
desc
st, ˜
M
J,1 ,∗
J,1
→
D
st
g´ eom (O
J,1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
L’élément δ se remonte successivement en éléments δ J,1 , δ J,1 , δ J,sc et δ J,SC . Le
même calcul que plus haut montre que σ
G
J
Jt (δ, ξ(a)) provient par la suite (3) de
l’élément e
˜
G
J
˜
M ()i
G
J,,,SC
Jt
σ
G
J,,,SC
Jt
(δ J,sc , a
J ) de D
st
unip (M
(R))/ Ann
st,G
J,,,SC
unip
, où
a
J est un élément quelconque de A M
,J,sc
(R) ayant même projection que ξ(a) dans
A M (R)/A G J (R).
Les composés des suites (1) et (3) ne sont pas égaux. L’isomorphisme composé
D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
) D
st
g´ eom,λJ,1 ( ˜
M
J,1 (R), O
J,1 )
est donné par la fonction de transition ˜
λ entre les deux séries de données auxiliaires pour M
déduites des données auxiliaires pour G
et pour G
J . En général,
cet isomorphisme est plus difficile à calculer que dans le cas non-archimédien.
Quand des distributions font intervenir des dérivées dans les directions centrales
de M
1 ou M
J,1 , la formule fait intervenir des dérivées de cette fonction de transition. Mais ce n’est pas le cas pour les distributions provenant de M
,SC . Pour