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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
c 1 (x) ∈ C 1,, . L’application x → c 1 (x) se quotiente en un homomorphisme Ξ
Γ R
→
C 1,, . Le groupe C 1,, agit par multiplication sur O
1 , donc aussi sur D
st
g´ eom (O
1 ). On
tord cette action par la restriction à C 1,, du caractère λ 1 . Via l’homomorphisme
précédent, on obtient une action de Ξ
Γ R
sur D
st
g´ eom (O
1 ). Pour x comme ci-dessus,
l’application ad x préserve M
1,,1 . Ce groupe est quasi-déployé. Fixons-en une paire
de Borel épinglée définie sur R. Quitte à multiplier x par un élément de M
,
on peut supposer que ad x respecte cette paire de Borel épinglée. Alors ad x est
un automorphisme de M
1,,1 qui est défini sur R. On obtient ainsi une action
de Ξ
Γ R
sur M
1,,1 par automorphismes définis sur R. D’où aussi une action sur
D
st
unip (M
1,,1 (R)). On tord cette action par le caractère x → λ 1 (c 1 (x)) et on obtient
l’action cherchée de Ξ
Γ R
sur D
st
unip (M
1,,1 (R)). La même construction définit des
actions de ce groupe sur D
st
unip (M
1,,1,sc (R)), D
st
unip (M
,sc (R)) et D
st
unip (M
,SC (R)).
Les homomorphismes de la suite ci-dessus sont équivariants pour les actions de
Ξ
Γ R
. En notant par un exposant les sous-espaces d’invariants, on obtient une suite
d’homomorphismes
D
st
unip (M
,SC (R))
Ξ
Γ R
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R))
Ξ
Γ R
D
st
unip (M
1,,1,sc (R))
Ξ
Γ R
(2)
ι
∗
M
1,, 1 ,sc
,M
1,, 1
→
D
st
unip (M
1,,1 (R))
Ξ
Γ R
desc
st, ˜
M 훀
1 ,∗
1
→
D
st
g´ eom (O
1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
Maintenant, les homomorphismes de cette suite sont injectifs. En effet, les homomorphismes ι
∗
M
,SC ,M
,sc
et ι
∗
M
1,, 1 ,sc ,M
1,, 1
sont injectifs d’après 3.3 (4), même sans
passer aux invariants. L’application desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
ci-dessus est injective d’après [I]
4.8. Enfin, l’injectivité de l’homomorphisme D
st
g´ eom (O
1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 )
se vérifie aisément sur les définitions.
D’après la définition de 2.1, notre distribution δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) se remonte en un élément δ 1 ∈ D
st
tr-orb (O
1 ). On voit que l’action que l’on a définie de
Ξ
Γ R
sur D
st
g´ eom (O
1 ) respecte le sous-espace D
st
tr-orb (O
1 ). Quitte à moyenner par
cette action, on peut supposer δ 1 ∈ D
st
tr-orb (O
1 )
Ξ
Γ R
. D’après le lemme 4.3(ii), δ 1
se relève en un élément δ 1 ∈ D tr-unip (M
1,,1 (R)). Pour la même raison, on peut
supposer δ 1 ∈ D tr-unip (M
1,,1 (R))
Ξ
Γ R
. D’après le lemme 3.3, δ 1 se relève en un
élément δ sc ∈ D
st
tr-unip (M
,sc (R)) dont on peut encore supposer qu’il est invariant par Ξ
Γ R
. Enfin, toujours d’après le lemme 3.3, δ sc se relève en un élément
δ SC ∈ D
st
tr-unip (M
,SC (R)), dont on peut encore supposer qu’il est invariant par
Ξ
Γ R
. L’injectivité des homomorphismes de la suite (10) entraîne que toutes ces
distributions sont uniquement déterminées par δ.
L’élément J s ∈ J
˜
G
˜
M (B) s’identifie à un élément de J
˜
G
1
˜
M
1
(B), puis à un élément
de J
G
1,, 1
M
1,, 1
(B), puis à un élément de J
G
,SC
M
,sc
(B). Les formalités que l’on a passées
entraînent que σ
G
Js (δ, ξ(a)) est l’image naturelle dans D
st
g´ eom (M
, O
)/ Ann
st,G
O
de
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
c 1 (x) ∈ C 1,, . L’application x → c 1 (x) se quotiente en un homomorphisme Ξ
Γ R
→
C 1,, . Le groupe C 1,, agit par multiplication sur O
1 , donc aussi sur D
st
g´ eom (O
1 ). On
tord cette action par la restriction à C 1,, du caractère λ 1 . Via l’homomorphisme
précédent, on obtient une action de Ξ
Γ R
sur D
st
g´ eom (O
1 ). Pour x comme ci-dessus,
l’application ad x préserve M
1,,1 . Ce groupe est quasi-déployé. Fixons-en une paire
de Borel épinglée définie sur R. Quitte à multiplier x par un élément de M
,
on peut supposer que ad x respecte cette paire de Borel épinglée. Alors ad x est
un automorphisme de M
1,,1 qui est défini sur R. On obtient ainsi une action
de Ξ
Γ R
sur M
1,,1 par automorphismes définis sur R. D’où aussi une action sur
D
st
unip (M
1,,1 (R)). On tord cette action par le caractère x → λ 1 (c 1 (x)) et on obtient
l’action cherchée de Ξ
Γ R
sur D
st
unip (M
1,,1 (R)). La même construction définit des
actions de ce groupe sur D
st
unip (M
1,,1,sc (R)), D
st
unip (M
,sc (R)) et D
st
unip (M
,SC (R)).
Les homomorphismes de la suite ci-dessus sont équivariants pour les actions de
Ξ
Γ R
. En notant par un exposant les sous-espaces d’invariants, on obtient une suite
d’homomorphismes
D
st
unip (M
,SC (R))
Ξ
Γ R
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R))
Ξ
Γ R
D
st
unip (M
1,,1,sc (R))
Ξ
Γ R
(2)
ι
∗
M
1,, 1 ,sc
,M
1,, 1
→
D
st
unip (M
1,,1 (R))
Ξ
Γ R
desc
st, ˜
M 훀
1 ,∗
1
→
D
st
g´ eom (O
1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
Maintenant, les homomorphismes de cette suite sont injectifs. En effet, les homomorphismes ι
∗
M
,SC ,M
,sc
et ι
∗
M
1,, 1 ,sc ,M
1,, 1
sont injectifs d’après 3.3 (4), même sans
passer aux invariants. L’application desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
ci-dessus est injective d’après [I]
4.8. Enfin, l’injectivité de l’homomorphisme D
st
g´ eom (O
1 )
Ξ
Γ R
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 )
se vérifie aisément sur les définitions.
D’après la définition de 2.1, notre distribution δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) se remonte en un élément δ 1 ∈ D
st
tr-orb (O
1 ). On voit que l’action que l’on a définie de
Ξ
Γ R
sur D
st
g´ eom (O
1 ) respecte le sous-espace D
st
tr-orb (O
1 ). Quitte à moyenner par
cette action, on peut supposer δ 1 ∈ D
st
tr-orb (O
1 )
Ξ
Γ R
. D’après le lemme 4.3(ii), δ 1
se relève en un élément δ 1 ∈ D tr-unip (M
1,,1 (R)). Pour la même raison, on peut
supposer δ 1 ∈ D tr-unip (M
1,,1 (R))
Ξ
Γ R
. D’après le lemme 3.3, δ 1 se relève en un
élément δ sc ∈ D
st
tr-unip (M
,sc (R)) dont on peut encore supposer qu’il est invariant par Ξ
Γ R
. Enfin, toujours d’après le lemme 3.3, δ sc se relève en un élément
δ SC ∈ D
st
tr-unip (M
,SC (R)), dont on peut encore supposer qu’il est invariant par
Ξ
Γ R
. L’injectivité des homomorphismes de la suite (10) entraîne que toutes ces
distributions sont uniquement déterminées par δ.
L’élément J s ∈ J
˜
G
˜
M (B) s’identifie à un élément de J
˜
G
1
˜
M
1
(B), puis à un élément
de J
G
1,, 1
M
1,, 1
(B), puis à un élément de J
G
,SC
M
,sc
(B). Les formalités que l’on a passées
entraînent que σ
G
Js (δ, ξ(a)) est l’image naturelle dans D
st
g´ eom (M
, O
)/ Ann
st,G
O
de