V.5. Extension des définitions, cas général
553
Nous prouverons ce lemme au paragraphe suivant. Admettons-le et achevons
la preuve de la proposition 5.2. La formule (2) se récrit
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
s∈Z
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)) transfert(σ
G
(s ˆ
θ)
Js
(δ, ξ(a))).
En utilisant (7) et (8), on obtient
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
=
Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
−1
s∈Z
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) transfert
σ
G
J (t ˆ
θJ )
Jt
(δ, ξ(a))
,
où t est la projection de s dans Z J . Le nombre d’éléments du noyau de cette
projection Z → Z J est égal à [Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ]. La formule ci-dessus devient
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
t∈ZJ
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) transfert(σ
G
J (t ˆ
θJ )
Jt
(δ, ξ(a))).
Mais le membre de droite est égal à celui de la formule (3), donc est égal à
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a). Cela prouve la proposition 5.2.
V.5.6 Preuve du lemme 5.5
On fixe s ∈ Z, on note t son image dans Z J . Pour simplifier, on pose G
= G
(s ˆ
θ)
et G
J = G
J (t ˆ
θ J ). On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour la donnée G
et
G
J,1 ,. . .,Δ J,1 pour la donnée G
J . On note ˜
M
1 et ˜
M
J,1 , resp. ˜
T
1 et ˜
T
J,1 , les images
réciproques de ˜
M
, resp. ˜
T
, dans ˜
G
1 et ˜
G
J,1 . On fixe des éléments 1 ∈ ˜
T
1 (R) et
J,1 ∈ ˜
T
J,1 (R) se projetant sur . On note O
1 la classe de conjugaison stable de 1
dans ˜
M
1 (R) et O
J,1 celle de J,1 dans ˜
M
J,1 (R). Notons M
,sc l’image réciproque de
M
dans G
,SC . Puisque G
,SC = G
1,,1,SC , c’est aussi l’image réciproque M
1,,1,sc
de M
1,,1 dans G
1,,1,SC . On a une suite d’homomorphismes
(1)
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R)) D
st
unip (M
1,,1,sc (R))
ι
∗
M
1,, 1 ,sc
,M
1,, 1
→
D
st
unip (M
1,,1 (R))
desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
→
D
st
g´ eom (O
1 )
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
Introduisons le groupe Ξ = Z M ()/M
. Son sous-groupe d’invariants Ξ
Γ R
agit
sur chacun des espaces ci-dessus, de la façon suivante. Il agit trivialement sur
D
st
g´ eom (M
, O
) et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ). Posons C 1,, = {c ∈ C 1 (R); cc 1 ∈ O
1 }.
Soit x ∈ Z M () dont l’image dans Ξ soit fixe par Γ R . Alors ad x ( 1 ) = c 1 (x) 1 où
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Nous prouverons ce lemme au paragraphe suivant. Admettons-le et achevons
la preuve de la proposition 5.2. La formule (2) se récrit
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
s∈Z
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)) transfert(σ
G
(s ˆ
θ)
Js
(δ, ξ(a))).
En utilisant (7) et (8), on obtient
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
=
Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
−1
s∈Z
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) transfert
σ
G
J (t ˆ
θJ )
Jt
(δ, ξ(a))
,
où t est la projection de s dans Z J . Le nombre d’éléments du noyau de cette
projection Z → Z J est égal à [Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ]. La formule ci-dessus devient
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
t∈ZJ
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) transfert(σ
G
J (t ˆ
θJ )
Jt
(δ, ξ(a))).
Mais le membre de droite est égal à celui de la formule (3), donc est égal à
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a). Cela prouve la proposition 5.2.
V.5.6 Preuve du lemme 5.5
On fixe s ∈ Z, on note t son image dans Z J . Pour simplifier, on pose G
= G
(s ˆ
θ)
et G
J = G
J (t ˆ
θ J ). On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour la donnée G
et
G
J,1 ,. . .,Δ J,1 pour la donnée G
J . On note ˜
M
1 et ˜
M
J,1 , resp. ˜
T
1 et ˜
T
J,1 , les images
réciproques de ˜
M
, resp. ˜
T
, dans ˜
G
1 et ˜
G
J,1 . On fixe des éléments 1 ∈ ˜
T
1 (R) et
J,1 ∈ ˜
T
J,1 (R) se projetant sur . On note O
1 la classe de conjugaison stable de 1
dans ˜
M
1 (R) et O
J,1 celle de J,1 dans ˜
M
J,1 (R). Notons M
,sc l’image réciproque de
M
dans G
,SC . Puisque G
,SC = G
1,,1,SC , c’est aussi l’image réciproque M
1,,1,sc
de M
1,,1 dans G
1,,1,SC . On a une suite d’homomorphismes
(1)
D
st
unip (M
,SC (R))
ι
∗
M
,SC
,M
,sc
→
D
st
unip (M
,sc (R)) D
st
unip (M
1,,1,sc (R))
ι
∗
M
1,, 1 ,sc
,M
1,, 1
→
D
st
unip (M
1,,1 (R))
desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
→
D
st
g´ eom (O
1 )
→ D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ) D
st
g´ eom (M
, O
).
Introduisons le groupe Ξ = Z M ()/M
. Son sous-groupe d’invariants Ξ
Γ R
agit
sur chacun des espaces ci-dessus, de la façon suivante. Il agit trivialement sur
D
st
g´ eom (M
, O
) et D
st
g´ eom,λ1 ( ˜
M
1 (R), O
1 ). Posons C 1,, = {c ∈ C 1 (R); cc 1 ∈ O
1 }.
Soit x ∈ Z M () dont l’image dans Ξ soit fixe par Γ R . Alors ad x ( 1 ) = c 1 (x) 1 où